Matematická analýza - skripta

0,

a1

1

a1

2

a1

3

. . .

0,

a2

1

a2

2

a2

3

. . .

0,

a3

1

a3

2

a3

3

. . .

..

.

..

.

..

.

..

.

. .

.

a můžeme definivat číslo a = 0, a1a2a3 . . . předpisem

ak =

(

2

pokud ak

k = 1

1

pokud ak

k 6= 1.

Naše nové číslo zřejmě splňuje a ∈ (0, 1). Bylo však zkonstruováno tak, že nemůže
být obsaženo ve výše uvedené posloupnosti, což je spor s tím, že výše uvedená
posloupnost obsahuje všechna čísla z intervalu (0, 1).

Důsledek 2.2.81. Iracionální čísla jsou nespočetná, je jich tedy mnohem více
než čísel racionálních.

Poznámka 2.2.82. (i) Mohutnost R se značí 2

ℵ0 a říká se jí mohutnost kontinua.

(ii) Neví se, zda mohutnost kontinua je nejmenší možná mohutnost nespočetné
množiny (hypotéza kontinua). Ví se však, že toto tvrzení není možné dokázat ani
vyvrátit pomocí axiomatické teorie množin, dokonce ani použitím axiomu výběru.
(iii) Platí, že m(exp N) = 2

ℵ0 . Toto tvrzení může vypadat na první pohled překva-

pivé, neboť pro pevné k ∈ N je počet k-prvkových podmnožin N spočetný, stejně
tak počet množin, kterým chybí právě k prvků, a nabízí se použití Tvrzení 2.2.78.
Problémy však působí podmnožiny N, které obsahují nekonečně prvků a zároveň
neobsahují žádný prvek z nějaké nekonečné podmnožiny N.

Shrnutí a závěrečné poznámky. V této kapitole jsme si zopakovali středoškol-

skou látku, na kterou budeme navazovat. Zároveň jsme si u důležitých objektů
zavedli značení, které budeme ve skriptech používat. Připomněli jsme si dvou-
hodnotovou logiku a základy teorie množin. Ukázali jsme si axiomatické zavedení
reálných čísel a pomocí nich jsme zavedli i další číselné obory. Současně jsme se
naučili porovnávat libovolné, tedy i nekonečné množiny. Upozornili jsme ale i na
některé komplikovanější věci, které jsou součástí základů matematiky. Ty nejsou
a nemohou být tak průzračně jasné a nezpochybnitelné, jak se ještě počátkem 20.
století někteří matematici a filozofové domnívali. Viděli jsme dokonce i tvrzení,
která se nedají ani dokázat, ani vyvrátit.

I přesto jsme snad čtenáře přesvědčili, že v matematice (a zejména v pokročilé)

se všechna tvrzení zdůvodňují, stejně tak správné řešení příkladu obsahuje po-
drobný postup, který dokazuje správnost řešení. Důkazy používají definice, axiomy

48

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

a již dokázaná tvrzení pospojovaná za pomoci matematické logiky. Volba důkazo-
vých prostředků odpovídá očekávané úrovni čtenáře. Práci nám zefektivňují jednak
různé symetrie (bývá například zvykem podrobně studovat jen vlastnosti suprema,
vlastnosti infima se odvodí jen přechodem k množině přezrcadlené přes počátek)
a navazování na předešlé výsledky.

Kapitola 3

Limita, spojitost a derivace
funkce jedné reálné
proměnné

Dříve než budeme definovat jeden ze základních pojmů matematické analýzy, li-
mitu funkce, dohodněme se, že kromě poslední části budeme v celé kapitole uva-
žovat pouze reálné funkce, tj. f : R → R. Až na konci kapitoly uvedeme několik
poznámek týkajících se případu f : R → C.