Matematická analýza - skripta

Už z Příkladu 3.1.5 se dá odtušit, že počítání limit přímo z definice nemusí být

příliš příjemné. Budeme používat elegantnější přístup, kdy si dokážeme několik
obecných tvrzení o limitách a ta pak budeme kombinovat s několika málo výsledky,
které získáme přímo z definice (například díky znalosti limity konstanty a identity
budeme schopni počítat limity všech polynomů).

Věta 3.1.18 (Limita absolutní hodnoty). Nechť f : R → R, x0 ∈ R a A ∈ R.
Jestliže limx→x

0 f (x) = A, pak limx→x0 |f (x)| = |A|.

Důkaz. Zvolme ε > 0. Pak existuje δ > 0 takové, že

|f (x) − A| < ε

pro 0 < |x − x0| < δ.

Díky trojúhelníkové nerovnosti také máme

||f (x)| − |A|| ≤ |f (x) − A|

pro všechna x ∈ Df ,

a proto ||f (x)| − |A|| < ε pro 0 < |x − x0| < δ, což jsme chtěli ukázat.

56

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Poznámka 3.1.19. Obrácená implikace v předchozí větě obecně neplatí. Stačí
uvážit funkci signum, pro niž platí limx→0 | sign x| = 1, ale limx→0 sign x neexistuje.

Na druhou stranu, v některých situacích platí i obrácená implikace.

Tvrzení 3.1.20. Nechť f : R → R, x0 ∈ R a A ∈ R. Pak:

lim

x→x0

f (x) = 0

⇐⇒

lim

x→x0

|f (x)| = 0

lim

x→x0

f (x) = A

⇐⇒

lim

x→x0

|f (x) − A| = 0.

Důkaz. První ekvivalence je jen speciálním případem druhé ekvivalence (stačí volit
A := 0). Druhá ekvivalence plyne přímo z definice limity, neboť podmínka f (x) ∈
Uε(A) je ekvivalentní podmínce |f (x) − A| < ε.

Uveďme si ještě dva výsledky o tom, jak hodnota limity ovlivňuje chování

funkce na malých prstencových okolích. Tyto výsledky budeme často používat
v důkazech.

Věta 3.1.21 (Vztah limity a omezenosti). Nechť f : R → R, x0 ∈ R a nechť
limx→x

0 f (x) = A ∈

R. Pak je f na jistém prstencovém okolí bodu x0 omezená.

Důkaz. Volme ε = 1. Pak existuje δ > 0 takové, že na Pδ(x0) platí |f (x) − A| < 1.
Proto

|f (x)| = |f (x) − A + A| ≤ |f (x) − A| + |A| ≤ 1 + |A|.

Poznámka 3.1.22. Čtenáři bychom doporučili, aby si předchozí větu zapamato-
val ve znění: má-li funkce v nějakém bodě vlastní limitu, pak je na jistém prsten-
covém okolí tohoto bodu omezená.

Důraz klademe na slovo „vlastníÿ. V této kapitole toto slovo není podstatné,

neboť zde pracujeme jen s vlastními limitami. Na druhou stranu, časem začneme
připouštět i limity nevlastní a nevlastní limita omezenost vylučuje.

Věta 3.1.23 (Nenulová limita a odraženost od nuly). Nechť f : R → R, x0 ∈ R
a limx→x

0 f (x)

= A ∈ R \ {0}. Pak je f na jistém prstencovém okolí bodu x0

odražená od nuly. Speciálně, prstencové okolí je možné volit tak, že |f | je na něm

odražena od nuly hodnotou

|A|

2 .

Důkaz. Volme ε =

|A|

2 . Pak existuje δ > 0 takové, že na Pδ (x0) platí |f (x) − A| ≤

|A|

2 , a proto

|f (x)| = |A − (A − f (x))| ≥ ||A| − |f (x) − A|| ≥ |A| − |f (x) − A| ≥ |A| −