Matematická analýza - skripta

Přirozenou otázkou je, zda je limita určena jednoznačně (pokud existuje).

Věta 3.1.12 (Jednoznačnost limity). Nechť f : R → R a x0 ∈ R. Pak existuje
nejvýše jedna limita funkce f v bodě x0.

Důkaz. Postupujme sporem. Nechť čísla A1, A2 splňují definici limity a A1 6= A2.
Volme ε :=

|A1−A2|

3

> 0. Podle definice limity pak musí existovat δ1, δ2 > 0 taková,

že

0 < |x − x0| < δ1 =⇒ |f (x) − A1| < ε

a

0 < |x − x0| < δ2 =⇒ |f (x) − A2| < ε.

Zafixujeme-li nyní libovolné x splňující 0 < |x − x0| < min{δ1, δ2}, dostáváme

3ε = |A1 − A2| = |A1 − f (x) + f (x) − A2| ≤ |A1 − f (x)| + |f (x) − A2| < 2ε,

což vede ke sporu.

54

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Dalším významným pojmem jsou jednostranné limity, které nám často dávají

jemnější informaci než limita.

Definice 3.1.13 (Jednostranné limity). Nechť f : R → R, x0 ∈ R a A ∈ R.
Řekneme, že A je limitou funkce f pro x jdoucí k x0 zprava, jestliže pro každé
ε > 0 existuje δ > 0 takové, že

x ∈ P

+

δ (x0)

=⇒

f (x) ∈ Uε(A).

V takovém případě píšeme limx→x

0 + f (x) = A nebo f (x) → A pro x → x0 + , nebo

také f (x)

x→x0+

−→ A.

Limita zleva (tedy limx→x

0 − f (x)) se definuje analogicky za pomoci levého

prstencového okolí.

Příklad 3.1.14. Funkce signum je definována předpisem

sign x =

1

pro x > 0

0

pro x = 0

−1

pro x < 0.

Snadno se dá ověřit, že

lim

x→0+

sign x = 1,

lim

x→0+

sign x = −1

a

lim

x→0

sign x neexistuje

(první dva výsledky ověříme přímo z definice, třetí získáme postupem z Pří-
kladu 3.1.5). Náčrt grafu této funkce je na Obrázku 3.2.

c

c

s

sign x

1

−1

Obrázek 3.2: Náčrt části grafu funkce sign.

Příklad 3.1.15. Uvažujme funkci [x] (celá část x) definovaná slovně jako: [x] je
největší celé číslo, které je menší nebo rovno x, tj.

[x] = n,

n = max{k ∈ Z; k ≤ x}.

Potom platí

lim

x→k+

[x] = k,

lim

x→k−

[x] = k − 1,

k ∈ Z.

Náčrt grafu funkce je na Obrázku 3.3.

3.1. LIMITA FUNKCE

55

s

s

s

s

s

s

s

c

c

c

c

c

c

c

1

[x]

Obrázek 3.3: Náčrt části grafu funkce x 7→ [x].

Nyní se zabývejme vztahem jednostranných limit a limity (oboustranné).

Věta 3.1.16 (Vztah limity k jednostranným limitám). Nechť f : R → R, x0 ∈ R
a A ∈ R. Pak

lim

x→x0

f (x) = A

⇐⇒

lim

x→x0+

f (x) =

lim

x→x0−

f (x) = A.

Důkaz. Implikace „⇒ÿ je zřejmá. Umíme-li k danému ε > 0 najít δ > 0 takové, že
na množině (x0 − δ, x0 + δ) \ {0} platí požadovaná nerovnost, tato nerovnost bude
jistě platit jak na intervalu (x0 − δ, x0), tak i na intervalu (x0, x0 + δ).

Dokažme implikaci „⇐ÿ. Nechť platí limx→x

0 + f (x)

= limx→x

0 − f (x)

= A.

K danému ε > 0 pak existují δ1, δ2 > 0 taková, že

x ∈ (x0 − δ1, x0) =⇒ |f (x) − A| < ε

a

x ∈ (x0, x0 + δ2) =⇒ |f (x) − A| < ε.

Stačí tedy položit δ = min{δ1, δ2} a jsme hotovi.

Poznámka 3.1.17. Poslední věta se často používá, když chceme ukázat, že nějaká
limita neexistuje. Vzpomeňme na funkci signum, která má rozdílné jednostranné
limity v počátku.