Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Příklad 3.1.2. Uvažme funkci f (x) = x, pro x ∈ R, a bod x0 = 1. Ukažme, že
limx→x
0 f (x) = 1. Zvolme libovolné ε > 0. Chceme k němu na jít δ > 0, aby
0 < |x − 1| < δ
=⇒
0 ≤ |f (x) − 1| < ε.
Při naší volbě funkce f však máme |f (x) − 1| = |x − 1|, a proto vidíme, že stačí
volit δ := ε.
Drobnou modifikací postupu lze ukázat, že limx→x
0 x = x0 pro libovolné x0 ∈
R.
3.1. LIMITA FUNKCE
51
Příklad 3.1.3. Nechť c ∈ R. Uvažme funkci f (x) ≡ c na R. Pro libovolné x0 ∈ R
se dá snadno ukázat (podobně jako v předchozím příkladu), že limx→x
0 c = c.
Příklad 3.1.4. Uvažme funkci
f (x) =
(
0
pro x 6= 0
1
pro x = 0.
Tvrdíme, že limx→0 f (x) = 0. Ověření je zde obzvlášť snadné, neboť pro libovolné
δ > 0 a ε > 0 máme
0 < |x − 0| < δ
=⇒
x 6= 0
=⇒
|f (x) − 0| = 0 < ε.
Příklad 3.1.5. Uvažme Dirichletovu funkci
f (x) = D(x) =
(
0
pro x ∈ R \ Q
1
pro x ∈ Q.
Tvrdíme, že neexistuje A ∈ R splňující A = limx→0 f (x). Postupujme sporem.
Uvážíme dva případy. Nejprve předpokládejme, že nějaké A ≤
1
2 je limitou. Pak
by při volbě ε =
1
4 muselo existovat δ > 0 takové, že
x ∈ (−δ, δ) \ {0}
=⇒
|A − f (x)| <
1
4
.
Odtud plyne
f (x) = A + f (x) − A ≤ A + |f (x) − A| ≤
1
2
+
1
4
< 1.
To však není možné, neboť otevřený interval (0, δ) obsahuje nekonečně mnoho
racionálních čísel (stačilo by jedno) a v nich je funkční hodnota rovna jedné.
Případ A >
1
2 se vyloučí podobným způsobem (využijeme toho, že každý ote-
vřený interval obsahuje nekonečně mnoho iracionálních čísel).
Příklad 3.1.6. Funkce f (x) = sin(
1
x ), x 6= 0, také nemá limitu v počátku. Všim-
něme si, že v libovolně malém prstencovém okolí bodu 0 máme nekonečně mnoho
bodů, ve kterých je hodnota funkce například 1, tj. xn =
2
(4n+1)π , a bodů, ve
kterých je hodnota funkce například 0, tj. yn =
1
πn . Zde bereme jen n ≥ n0 pro
dostatečně velké n0 ∈ N.
Příklad 3.1.7. Uvažme funkci f (x) = x2, pro x ∈ R, a bod x0 = 2. Ukažme, že
limx→x
0 f (x) = 4. Zvolme libovolné ε ∈ (0, 2) (rozmyslete si, že omezení čísla ε
shora dvojkou v definici limity nic nezmění). Pro x ∈ (
√
4 − ε,
√
4 + ε) pak máme
4 − ε < x
2 < 4 + ε
neboli
|x2 − 4| < ε.
Položíme-li nyní δ1 = 2 −
√
4 − ε > 0, δ2 =
√
4 + ε − 2 > 0 a δ = min{δ1, δ2}, platí
(
√
4 − ε,
√
4 + ε) = (2 − δ1, 2 + δ2) ⊃ (2 − δ, 2 + δ).
Celkově máme
x ∈ (2 − δ, 2 + δ)
=⇒
|x2 − 4| < ε.
52
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
Poznámka 3.1.8. (i) V předchozích příkladech jsme viděli, že limita vůbec exis-
tovat nemusí.
(ii) Také jsme viděli, že i v případě existence limity nemusí obecně platit
lim
x→x0
f (x) = f (x0).
Je to způsobeno tím, že v definici limity bereme x pouze z prstencového okolí.
(iii) Příklad 3.1.2 nám ukázal, že limitní hodnota se nemusí rovnat žádné hodnotě
z prstencového okolí.
(iv) To, že se x bere z prstencového okolí, je motivováno aplikacemi, v nichž často
není potřeba vůbec vědět, jaká je hodnota funkce f v bodě x0, případně tam funkce
nemusí být vůbec definována. Pojem limity je lokální, roli tady hrají jen hodnoty
funkce blízko bodu x0. Proto jsou důležité jen malé hodnoty ε.
(v) Při ověřování limity z definice k danému ε hledáme jakékoliv kladné δ splňující
požadovanou podmínku. Není nutné hledat δ tak, aby bylo největší možné. Na-
příklad v Příkladu 3.1.2 jsme namísto volby δ = ε mohli použít třeba δ =