Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Proto
A − ε ≤ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ A + ε.
Protože ε > 0 bylo libovolné, podle definice limity máme limx→x
0 g(x) = A.
Úloha 3.1.37. Spočtěte limx→0
k
√
1+x−1
x
, kde k ∈ N.
Řešení:
Aplikací vzorečku pro ak − bk (Cvičení 2.2.48) dostáváme
lim
x→0
k
√
1 + x − 1
x
= lim
x→0
(1 + x) − 1
x
1
k
√
1 + x
k−1
+
k
√
1 + x
k−2
+ · · · + 1
.
Dále, protože
1 − x ≤ 1 ≤
k
√
1 + x ≤ 1 + x
pro x > 0
a
1 + x ≤
k
√
1 + x ≤ 1 ≤ 1 + |x|
pro − 1 < x < 0,
máme na P1(0)
1 − |x| ≤
k
√
1 + x ≤ 1 + |x|.
Odtud již snadno pomocí Věty o dvou strážnících (Věta 3.1.36) dostáváme, že platí
limx→0
k
√
1 + x = 1. Celkově z aritmetiky limit máme
lim
x→0
k
√
1 + x − 1
x
=
1
1k−1 + 1k−2 + · · · + 11 + 1
=
1
k
.
I
Vraťme se ještě jednou k aritmetice limit. Je nutné používat pouze v situa-
cích popsaných v odpovídající větě. Jinak riskujeme špatný výsledek, jak ukazuje
následující příklad.
Příklad 3.1.38. Spočtěme
lim
x→1
√
x − 2x + x2
x − 1
.
3.1. LIMITA FUNKCE
63
Správný postup je
lim
x→1
√
x − 1
x − 1
+
1 − 2x + x2
x − 1
= lim
x→1
1
√
x + 1
+ lim
x→1
(1 − x)2
(x − 1)
=
1
2
.
Ale někdo by mohl uvažovat špatně následujícím způsobem
lim
x→1
√
x − 2x + x2
x − 1
6= lim
x→1
1 − 2x + x2
(x − 1)
= lim
x→1
(x − 1)2
x − 1
= 0.
Této typické chybě se často říká „částečné dosazeníÿ.
Věta 3.1.39 (Omezená krát jdoucí k nule). Nechť f, g : R → R, x0 ∈ R, ne-
chť limx→x
0 f (x) = 0 a g
je omezená na jistém prstencovém okolí bodu x0. Pak
limx→x
0 f (x)g(x) = 0.
Důkaz. Zvolme ε > 0. Pak existují δ > 0 a K > 0 taková, že na Pδ(x0) platí
|f (x)| < ε
a
|g(x)| ≤ K.
Odtud |f (x)g(x)| < Kε na Pδ(x0) a ověřili jsme jednu z ekvivalentních definic
limity.
Poznámka 3.1.40. Předpoklad o omezenosti funkce g nelze vypustit. Uvažme
třeba limx→0 x
1
x .
Úloha 3.1.41. Spočtěte limitu limx→0 xD(x), kde D je Dirichletova funkce.
Řešení:
Protože |D(x)| ≤ 1 na R a limx→0 x = 0, z předchozí věty okamžitě
dostáváme limx→0 xD(x) = 0.
I
Poznámka 3.1.42. (i) V předchozí úloze jsme nemohli použít aritmetiku limit,
neboť limx→0 D(x) neexistuje. Je tedy vidět, že někdy standardní nástroje selžou.
Protože vždy platí |xD(x) − 0| ≤ |x − 0| (neboli vzdálenost xD(x) od limitní hod-
noty 0 je shora odhadnuta vzdáleností x od limitní hodnoty 0), nabízí se myšlenka,
že by nemělo být o nic těžší dokázat, že limx→0 xD(x) = 0, než že limx→0 x = 0.
V matematice se skutečně poměrně často stává, že obecné věty nejsou tím správ-
ným nástrojem v jednoduché situaci. Proto potřebujeme matematice co nejlépe
porozumět a umět používat i ty nejjednodušší nástroje.
(ii) Předchozí věta nám nedává nic, co by nezvládla Věta o dvou strážnících (Věta
3.1.36). Stačí položit
−K|f (x)| ≤ f (x)g(x) ≤ K|f (x)|,