Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
N definujeme délku vektoru předpisem
kak =
N
X
k=1
a
2
k
1
2
,
první Cauchy–Schwarzova nerovnost po odmocnění dává |a · b| ≤ kakkbk.
(ii) V důkazu druhé Cauchy-Schwarzově nerovnosti jsme si odvodili a používali
nerovnost ab ≤
a
2
2 +
b
2
2
(odpovídá také volbě N = 1 a ε =
1
2 v druhé Cauchy-
Schwarzově nerovnosti) . Tato nerovnost se používá velice často a říká se jí Youn-
gova nerovnost (obecná Youngova nerovnost má tvar ab ≤
|a|
p
p
+
|b|
p
p−1
p
p−1
s pevným
2.2. ČÍSELNÉ OBORY
37
parametrem p ∈ (1, ∞)).
(iii) Druhá Cauchy–Schwarzova nerovnost se používá s volbou ε =
1
2
(pak i
1
4ε =
1
2 ), ale mnohem častěji s ε dostatečně malým, kde malost ε závisí na dané
úloze. Jak jsme viděli v důkazu, stačí si pamatovat znění nerovnosti pro první
případ a verze s obecným ε > 0 se pak snadno odvodí.
Cauchy–Schwarzova se dá v některých situacích využít k pěkným odhadům,
jak ukazuje následující problém.
Úloha 2.2.46. Na základě definic z Poznámky 2.2.45 (i) ukažte, že
max
v∈RN ;kvk=1
a · v = kak.
Řešení:
Použitím Cauchy–Schwarzovy nerovnosti ve tvaru z Poznámky 2.2.45
(i) máme
|a · v| ≤ kakkvk ≤ kak.
Nyní si stačí uvědomit, že pro a nenulový vektor volbou v = a/kak dostaneme
rovnost, zatímco pro a = 0 je tvrzení zřejmé.
I
Věta 2.2.47 (Binomická věta). Nechť a, b ∈ R a n ∈ N. Pak
(a + b)
n =
n
X
k=0
n
k
a
k bn−k,
(2.2.9)
kde
n
k
=
n!
k!(n−k)! (připomeňme 0! = 1).
Důkaz. Nejprve si dokažme Pascalovo pravidlo (n ∈ N, k ∈ N0, n > k)
n
k
+
n
k + 1
=
n + 1
k + 1
.
(2.2.10)
Zřejmě
n
k
+
n
k + 1
=
n!
k!(n − k)!
+
n!
(k + 1)!(n − k − 1)!
=
(k + 1)n!
(k + 1)!(n − k)!
+
(n − k)n!
(k + 1)!(n − k)!
=
(n + 1)n!
(k + 1)!(n − k)!
=
n + 1
k + 1
.
Nyní dokážeme požadovaný vzoreček indukcí. Předně, pro n = 1 vztah (2.2.9)
zřejmě platí. Dále předpokládejme, že (2.2.9) platí pro nějaké pevné n ∈ N. Díky
38
KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD
tomu a Pascalově pravidlu (2.2.10) dostáváme
(a + b)
n+1 = (a + b)n(a + b) =
n
X
k=0
n
k
a
k bn−k(a + b)
=
n
X
k=0
n
k
a
k+1bn−k +
n
X
k=0
n
k
a
k bn−k+1
=
n+1
X
k=1
n
k − 1
a
k bn−k+1 +
n
X
k=0
n
k
a
k bn−k+1
=
n
0
a
0bn+1 +
n
X
k=1
n
k − 1
+
n
k
a
k bn−k+1 +
n
n
a
n+1b0
=
n + 1
0
a
0bn+1 +
n
X
k=1
n + 1
k
a
k bn−k+1 +
n + 1
n + 1
a
n+1b0
=
n+1
X
k=0
n + 1
k
a
k bn−k+1.
Tím jsme dokončili indukční krok a jsme hotovi.
Další vzoreček, který je občas užitečný, ponecháme čtenáři za cvičení. Používá
se například ke sčítání geometrických řad a k odhadům odmocnin.
Cvičení 2.2.48. Nechť a, b ∈ R a n ∈ N, n ≥ 2. Pak
a
n − bn = (a − b)(an−1b0 + an−2b1 + an−3b2 + · · · + a0bn−1).
Připomeňme, že na R
+
0
je definována funkce x 7→ n
√
x jako inverzní funkce
k x 7→ xn. Blíže si vše dokážeme později, až se budeme věnovat vlastnostem
elementárních funkcí.
Úloha 2.2.49. Dokažte A-G nerovnost, která říká, že geometrický průměr koneč-
ného počtu nezáporných čísel je shora odhadnut průměrem aritmetickým, neboli