Matematická analýza - skripta

Připomeňme, že z definice přirozených čísel nelze vypustit slovo „nejmenšíÿ,

pak by definici splňovalo i třeba R.

Definice 2.2.22 (Celá čísla). Množinu celých čísel Z definujeme předpisem

Z = N0 ∪ {−n : n ∈ N}.

Definice 2.2.23 (Racionální čísla). Množinu racionálních čísel Q definujeme
předpisem

Q =

n

p

q

: p ∈ Z ∧ q ∈ N

o

.

Poznámka 2.2.24. Připomeňme, že každé přirozené číslo lze jednoznačně zapsat
způsobem

n = p1p2 . . . pk,

kde pi, i = 1, . . . , k, jsou vzestupně seřazená prvočísla. To nám umožňuje psát
racionální čísla v jednoznačném nesoudělném tvaru.

Tvrzení 2.2.25. Množina N není omezená shora.

Důkaz. Provedeme důkaz sporem. Nechť je N omezená shora. Pak podle vlastnosti
(C1) reálných čísel existuje S := sup N ∈ R. Podle druhé vlastnosti suprema pak
musí ještě existovat n0 ∈ N takové, že n0 > S − 1. Poslední odhad je totéž, co
n0 + 1 > S, a protože n0 + 1 ∈ N podle definice přirozených čísel, S nesplňuje
první vlastnost suprema a dostáváme spor.

Tvrzení 2.2.26 (Důkaz matematickou indukcí). Nechť n0 ∈ N, každému n ∈
N ∩ [n0, ∞) je přiřazen výrok P (n), a platí:
(i) P (n0) je pravdivý výrok
(ii) pravdivost P (n) implikuje pravdivost P (n + 1) kdykoliv n ∈ N ∩ [n0, ∞).
Pak pro každé n ∈ N ∩ [n0, ∞) je výrok P (n) pravdivý.

Důkaz. Zvolme libovolné n ∈ N ∩ [n0, ∞). Pokud n = n0, je zřejmě P (n) =
P (n0) pravdivý výrok. Pokud n > n0, položíme m = n − n0 ∈ N a postupujeme
následovně. Protože P (n0) je pravdivý, podle předpokladu je pravdivý i P (n0 + 1).
Nyní z pravdivosti P (n0+1) plyne pravdivost P (n0+2). Takto pokračujeme celkem
(m − 1)-krát a zjistíme, že P (n) je pravdivý výrok. Protože n ∈ N ∩ [n0, ∞) bylo
libovolné, je důkaz hotov.

Úloha 2.2.27. Dokažte, že pro všechna n ∈ N platí 1 + · · · + n =

n(n+1)

2

.

30

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Řešení:

Provedeme důkaz indukcí s volbou n0 = 1. Nejprve vidíme, že 1 =

1·2

2

a

proto výrok P (1) platí. Předpokládejme nyní, že platí P (n) pro pevně zvolené n ∈

N. S využitím této informace dostáváme

1 + · · · + n + (n + 1) =

n(n + 1)

2

+ n + 1 =

n(n + 1) + 2(n + 1)

2

=

(n + 1)(n + 2)

2

.

Platí tedy i výrok P (n + 1). Všechny předpoklady tvrzení o matematické indukci
jsou splněny, a proto požadovaná rovnost platí pro libovolné n ∈ N.

I

Dokazujeme-li matematickou indukcí nerovnosti, často používáme

α ≤ β ∧ γ ≤ δ =⇒ α + γ ≤ β + δ,

(2.2.2)

nebo

α < β ∧ γ ≤ δ =⇒ α + γ < β + δ.

(2.2.3)

Cvičení 2.2.28. Dokažte (2.2.2) respektive (2.2.3) pomocí axiomů z Definice
2.2.8.

Protože přičtení nerovnosti je neekvivalentní úprava, mají důkazy nerovností

složitější logickou stavbu a je těžší je vymyslet. Dalším překážkou je, že mnohdy
není z důkazu jasné, zda bylo dosaženo nejlepšího možného výsledku.

Pokusme se teď podívat na důkazy obecněji. Existují dva možné přístupy pre-