Matematická analýza - skripta

nadále často používat.
• Pokud A = R a B = R, mluvíme o reálné funkci jedné reálné proměnné.
• Pokud A = R a B = C, mluvíme o komplexní funkci jedné reálné proměnné.
• Pokud A = N a B = R, mluvíme o (reálné) posloupnosti (komplexní posloupnost
se zavádí analogicky).
• Funkce ϕ(x) = x se nazývá identita. Identické zobrazení budeme také často
značit id.
• Pro a, b ∈ R se ϕ(x) = ax+b často nazývá lineární funkce (vhodnější název je ale
afinní, neboť mimo matematickou analýzu se linearita obvykle definuje způsobem,
který připouští jen b = 0).
• ϕ(x) = y0 pro všechna x ∈ Dϕ definuje konstantní zobrazení (často píšeme
ϕ(x) ≡ y0 nebo ϕ ≡ y0).
• Funkce sign : R → R je definována předpisem

sign x =

−1

pro x < 0

0

pro x = 0

1

pro x > 0.

• Přiřazujeme-li číslům x ∈ R čísla y ∈ R taková, že y

2 = x, nejedná se o zobrazení

(zde nevadí, že pro záporné x nenajdeme vyhovující y, naše definice totiž připouští

22

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

A = B = R a Dϕ = [0, ∞); definici zobrazení porušuje skutečnost, že kladným
číslům přiřazujeme hned dvě čísla zároveň).

Inverzní zobrazení ϕ−1 zavádíme jen v případě, že ϕ je prosté.

Definice 2.1.28 (Inverzní zobrazení). Nechť zobrazení ϕ : A → B je prosté. Pak
inverzní zobrazení ϕ−1 : B → A je definováno vztahy

Dϕ−1 = Rϕ

ϕ

−1(x) = y

⇐⇒

x = ϕ(x).

Příklad 2.1.29. Později si ukážeme, že zobrazení x 7→ x2 je na [0, ∞) prosté,
zatímco na celém R zjevně prosté není. Potom zobrazení x 7→

√

x je inverzním

zobrazením k zobrazení ϕ(x) = x2, x ∈ [0, ∞). Zobrazení ψ(x) = x2, x ∈ R,
inverzi nemá.

Definice 2.1.30 (Skládání zobrazení). Nechť jsou dána dvě zobrazení ϕ : A → C
a ψ : C → B a platí Rϕ ∩ Dψ 6= ∅. Pak složené zobrazení ψ ◦ ϕ : A → B je dáno
vztahy

Dψ◦ϕ = ϕ

−1(R

ϕ ∩ Dψ )

(ψ ◦ ϕ)(x) = ψ(ϕ(x)).

Příklad 2.1.31. Nechť ϕ(x) = 2x + 4, x ∈ R, a ψ(x) =

√

x, x ∈ [0, ∞). Platí

Rϕ ∩ Dψ = R ∩ [0, ∞) = [0, ∞).

Proto má složené zobrazení ψ ◦ ϕ : x 7→

√

2x + 4 neprázdný definiční obor a sice

ϕ

−1([0, ∞)) = [−2, ∞).

Ukažme si některé vlastnosti inverzního zobrazení.

Tvrzení 2.1.32 (Základní vlastnosti inverze). Nechť ϕ : A → B je prosté zobra-
zení. Pak
(i) ϕ−1 je prosté a Rϕ−1 = Dϕ
(ii) ϕ−1 ◦ ϕ = id na Dϕ a ϕ ◦ ϕ

−1 = id na D

ϕ−1

(iii) (ϕ−1)−1 = ϕ.

Důkaz. Nejprve dokážeme prostotu. Nechť ϕ−1(x1) = ϕ

−1(x

2) pro x1, x2 ∈ Dϕ−1 .

Označme tuto společnou hodnotu y. Podle definice ϕ−1 platí

x1 = ϕ(y) = x2,

tedy ϕ je prosté.

Nyní ukážeme, že Rϕ−1 = Dϕ. Pro prvek y platí y ∈ Rϕ−1 právě tehdy, když

existuje x ∈ Dϕ−1 takové, že ϕ

−1(x) = y. To podle definice inverzního zobrazení

znamená totéž, co existence x ∈ Rϕ splňujícího x = ϕ(y), neboli y ∈ Dϕ.

Dokažme část (ii). Zafixujme x ∈ Dϕ a položme