Matematická analýza - skripta

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

V matematice nejčastěji dokazujeme implikace (připomeňme, že ekvivalence se

dá rozložit na dvě implikace). Na předchozím tvrzení jsou založeny metody jejich
důkazů. Ty nejčastěji dělíme na:
• přímý důkaz
• nepřímý důkaz (využívá (vii))
• důkaz sporem (využívá (xii)).

18

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Úloha 2.1.10. Dokažme: je-li n2 liché číslo, pak n je rovněž liché číslo.

Řešení:

Ukážeme si všechny tři metody důkazu, které jsme zmínili výše.

• Začneme přímým důkazem. Nechť n = p1 . . . pr je prvočíselný rozklad (pi jsou
prvočísla, mohou se opakovat). Pak zřejmě platí n2 = p2

1 . . . p

2

r . Protože n

2 je liché,

žádné z čísel p2

i nemůže být dělitelné dvěma a tedy ani žádné z prvočísel pi není

rovno dvěma. Proto n je liché.
• Ukažme si důkaz nepřímý. Předpokládejme, že n je sudé. Pak lze psát n = 2k,
kde k ∈ N. Proto n

2 = 4k2 a je tedy také sudé.

• Nakonec si ukážeme důkaz sporem. Nechť n2 je liché a n je sudé. Pak musí být
n2 + n liché. Na druhou stranu, ze dvou po sobě jdoucích čísel je vždy jedno sudé
a jedno liché, a proto n2 + n = (n + 1)n je sudé. To je spor.

I

V matematice nám samozřejmě stačí jen jeden důkaz.

Poznámka 2.1.11. V pokročilé matematické analýze se symboly pro kvantifi-
kátory a logické spojky často nepoužívají, neboť by tvrzení se složitější logickou
stavbou vyžadovala použití příliš velkého počtu závorek, což by zhoršilo čitelnost.
V těchto situacích právě volba vhodných slov na místě logických spojek a kvanti-
fikátorů umožňuje snazší orientaci čtenáře.

Poznámka 2.1.12. Poznámku si také zaslouží jev, kterému se říká důkaz kruhem.
Dochází k tomu, když v důkazu použijeme výrok, který právě dokazujeme. Takový
důkaz je pak bezcenný a o platnosti dokazovaného výroku nám nedává žádnou
informaci.

2.1.2

Množiny

Množiny definujeme jako soubor prvků, přičemž o každém prvku lze rozhodnout,
zda do dané množiny patří, či nikoliv. Budeme se tedy vyhýbat následujícím situ-
acím.

Příklad 2.1.13 (Příklad (paradox) Bertranda Russella). Definujme Y jako množi-
nu všech množin, které neobsahují sebe sama jako prvek. Potom nelze rozhodnout,
zda Y ∈ Y . Kdyby totiž množina Y patřila do množiny množin Y , pak dostáváme
spor s definicí množiny množin Y . Pokud by tam nepatřila, pak dostáváme spor
též, protože dle definice množiny množin Y by tam pak patřit měla.

Množiny tedy zadáváme následujícími způsoby:

• výčtem prvků (například M = {1, 2, 3})
• zadáním vlastností prvků (M = {n : n je prvočíslo})
• pomocí už známé množiny (M = N ∩ [1, 3]).

Budeme používat následující značení:

Označení 2.1.14. (i) x ∈ M (x patří do M ), x /

∈ M (x nepatří do M )

(ii) P ⊂ M ⇐⇒ ∀p ∈ P

p ∈ M (podmnožina)

(iii) P = M ⇐⇒ P ⊂ M ∧ M ⊂ P (rovnost množin)
(iv) P ∪ M = {x : x ∈ M ∨ x ∈ P } (sjednocení množin)