Matematická analýza - skripta

tom, že matematika a matematická analýza zvlášť je užitečná při analýze mnohých,
zejména fyzikálních modelů. Současně jsme naznačili, že i v zdánlivě elementárních
modelech proudění tekutin není vše tak jednoduché, jak by se mohlo zdát. Existují
otevřené matematické problémy, jejichž řešení může mít vliv na vytváření dalších,
přesnějších modelů reality.

14

KAPITOLA 1. MOTIVAČNÍ ÚVOD

Kapitola 2

Matematický úvod

2.1

Opakování středoškolské látky, základní zna-
čení

V této části budeme vycházet z toho, co by měl znát z matematiky absolvent
střední školy. Například budeme předpokládat, že čtenář má nějakou představu
reálné osy a umí s reálnými čísly zacházet. Na druhou stranu zavedeme o něco
později reálná čísla sami. Přestože naše zavedení nevyžaduje žádné předběžné zna-
losti, ve skutečnosti vychází z toho, jak se na základní a střední školy s čísly pra-
cuje. Podobně předpokládáme, že čtenář má nějaké povědomí o základech logiky a
intuitivní představu o množinách. Některé pojmy upřesníme, upozorníme na jisté
problémy, ale v této části nepůjdeme do žádných detailů, nebudeme vše dokazovat
a na hlubší výsledky se odkážeme na příslušnou literaturu, kde se těmto věcem
věnuje mnohem více prostoru.

Poznamenejme, že pro značení otevřených intervalů v R budeme používat ote-

vřené závorky, například (0, 1), zatímco uzavřené intervaly značíme pomocí závo-
rek hranatých, například [0, 1].

2.1.1

Logika

Budeme zásadně používat, tak jak je to v matematické analýze zvykem, dvouhod-
notovou logiku. Pravdu budeme značit 1 nebo T (z anglického true) a nepravdu 0
nebo F (z anglického false). Budeme se zabývat jen výroky, o kterých má smysl
říci, zda jsou pravdivé či nepravdivé. Budeme také pracovat s pojmem výrokové
funkce neboli predikátem, tedy předpisem, který každému prvku z daného pole
objektů přiřadí výrok.

Příklad 2.1.1. Výrok: matematika je krásná.

Výroková funkce: P (x): x je krásná. Prvky x bereme z M = {matematika,

fyzika, chemie}.

15

16

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Komplikovanější výroky budeme vytvářet pomocí logických spojek definova-

ných následující pravdivostní tabulkou.

negace

konjunkce

disjunkce

implikace

ekvivalence

A

B

non A

A ∧ B

A ∨ B

A =⇒ B

A ⇐⇒ B

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

Příklad 2.1.2. Výrok A: matematika je krásná; výrok B: matematika je těžká.
Negace B: matematika není těžká.
Konjunkce A ∧ B: matematika je krásná a těžká.
Implikace A =⇒ B: matematika je krásná, proto je těžká.

Příklad 2.1.3. Výrok A: venku prší, výrok B: venku je mokro.
Implikace A =⇒ B: Venku prší, proto je mokro.
Implikace B =⇒ A: Venku je mokro, proto prší.

Vidíme, že z hlediska reálné zkušenosti (kterou v tomto okamžiku mlčky před-

pokládáme) je první implikace pravdivý výrok (pokud prší, pak je mokro), zatímco
druhý výrok není pravdivý (může být mokro, aniž by pršelo). Je dobré se nad tímto
rozdílem zamyslet.