Matematická analýza - skripta

Proudění tekutin

Nyní se podíváme na trochu komplikovanější problém, abychom ilustrovali, jaké
problémy současná matematická analýza řeší v souvislosti s fyzikálními modely re-
ality a ukázali, že je stále ještě hodně zajímavých otevřených otázek. Podíváme se
na modely proudění tekutin, které vedou ke studiu systémů parciálních diferenci-
álních rovnic, tedy rovnic, které neobsahují pouze derivace funkce jedné proměnné
(jak tomu bylo výše při popisu pohybu hmotné částice), nýbrž derivace funkcí více
proměnných.

Jak se dozvíte na přednáškách z mechaniky (blíže si o tom můžete také přečíst

například v knize [BrSaSo MeKo]), nejjednodušším modelem tekutin je tzv. ide-
ální tekutina. Budeme pro jednoduchost uvažovat pouze tekutinu nestlačitelnou.
Dostáváme následující Eulerův systém parciálních diferenciálních rovnic

div u =

3

X

i=1

∂ui
∂xi

= 0,

(1.1.10)

%0

∂ui

∂t

+ %0

3

X

j=1

uj

∂ui

∂xj

+

∂p

∂xi

= %0fi,

i = 1, 2, 3,

(1.1.11)

na (0, T ) × Ω, kde (0, T ) je časový interval a Ω ⊂ R

3 je nějaká, pro jednoduchost

časově neměnná oblast, ve které se tekutina pohybuje. V rovnicích (1.1.10)–(1.1.11)
reprezentuje u = (u1, u2, u3) pole rychlosti, p je tlak, %0 je konstatní hustota
a f = (f1, f2, f3) je vnější síla. Pro korektní formulaci bychom museli ještě zadat
počáteční podmínku pro rychlost a předepsat chování na hranici (například nulový
tok přes hranici), to ale necháme teď být.

10

KAPITOLA 1. MOTIVAČNÍ ÚVOD

Dalo by se očekávat, že nejjednodušší model bude z hlediska matematické ana-

lýzy jednoduché cvičení. Ukazuje se, že tomu zdaleka tak není, neboť rovnice
(1.1.11) je nelineární. Jako řešení naší úlohy bychom čekali funkci u, která je
spojitě diferencovatelná podle času a podle prostorových proměnných a funkce p,
která je spojitá v čase a spojitě diferencovatelná podle prostorových proměnných.
Ukazuje se ale, že i když předepíšeme rozumné okrajové a počáteční podmínky,
takové řešení (pokud existuje, je dáno jednoznačné) bude existovat obecně jen
krátkém časovém intervalu (v reálném případě je ale odhad délky časového inter-
valu řádově i 10−10 sekund) nebo na delších intervalech pro malá data, tj. jestliže
je tekutina na počátku prakticky v klidu. To samozřejmě moc zajímavé není.

Matematici proto přišli s konceptem tzv. slabého řešení, který ale přesahuje

rámec těchto skript. Ukazuje se, že i toto slabé řešení není příliš rozumné, protože
v některých případech může existovat dokonce nekonečně mnoho řešení, či tekutina
je bez působení sil na začátku v klidu, ale může začít samovolně proudit. Taková
řešení nemají s fyzikální realitou nic společného, otázkou ale je, jak je vyloučit.
Zatím se nepodařilo nalézt žádné rozumné kritérium, které by z těchto mnoha
řešení vybralo to správné, a tato otázka je v současné době otevřená.