Matematická analýza - skripta

,

dx3(t)

dt

,

(1.1.6)

i = 1, 2, 3, spolu s počátečními podmínkami

xi(t0) = (x0)i,

dxi

dt

(t0) = vi(t0) = (v0)i,

i = 1, 2, 3.

(1.1.7)

Není nutné připomínat, že řešení úlohy (1.1.6)–(1.1.7) je mnohem komplikovanější
než řešení skalární úlohy (1.1.3)–(1.1.4). Pokusme se teď řešit trochu jinou úlohu.
Předpokládejme pro jednoduchost, že síla f závisí jen na poloze a že má speciální
tvar, je potenciální. To tedy znamená, že

fi(x1, x2, x3) = −

∂U

∂xi

(x1, x2, x3),

i = 1, 2, 3,

(1.1.8)

kde symbol

∂

∂xi

označuje parciální derivaci podle i-té proměnné. Hledejme staci-

onární řešení, tj. řešení s nulovou rychlostí. Úloha (1.1.6) se redukuje na řešení
úlohy

∂U

∂xi

(x1, x2, x3) = 0,

i = 1, 2, 3,

(1.1.9)

tedy na hledání stacionárních bodů funkce U (·, ·, ·). Obecně tedy řešíme soustavu
nelineárních algebraických rovnic a úloha značně závisí na tvaru funkce U . Po-
kusme se ale proniknout do úlohy ještě hlouběji. Řešením (1.1.9) nalezneme buď
body lokálního minima, lokálního maxima nebo sedlové body. Které stavy ale v re-
álné situaci nastanou? Není těžké si uvědomit, že v případě, kdy půjde o lokální
maximum, bude síla působit tak, že se bude snažit při malé výchylce částice ze sta-
cionárního stavu tuto výchylku zvětšovat, zatímco v případě lokálního minima se
bude snažit částici vracet zpět do stacionárního stavu. V případě sedlového bodu
pak půjde o kombinaci obou, tj. výchylky v některém směru se budou zvětšo-
vat, zatímco výchylky v jiném směru se budou zmenšovat. Vidíme tedy, že částice

1.1. MA A JINÉ VĚDY

9

se pravděpodobněji usadí v bodech lokálního minima funkce U , nejpravděpodob-
něji pak v bodě globálního minima (pokud existuje). Dostali jsme další zajímavou
úlohu, tedy úlohu na hledání lokálních či globálních minim.

Pokud se pokusíme tuto situaci shrnout, dostali jsme se díky zjednodušení

(stejná jako výše, kromě omezení pohybu podél jedné souřadnicové osy, bereme
speciální tvar síly a hledáme stacionární řešení) na úlohu hledání stacionárních
bodů daného potenciálu. Pokud navíc budeme hledat stabilní polohy, pak vlastně
hledáme body lokálního či globálního minima dané funkce, což je z pohledu mate-
matické analýzy relativně standardní úloha, může být ale komplikované či nemožné
ji řešit analyticky.

Řešení úloh typu (1.1.3)–(1.1.4), (1.1.6)–(1.1.7) či (1.1.9) lze někdy získat jen

pomocí přibližných metod. Řešíme tedy dané úlohy jen s jistou přesností, pomocí
numerických metod. Výše uvedené úlohy jsou z tohoto pohledu poměrně stan-
dardní a umí je řešit celá řada komerčních či akademických balíků programů. Ale
pozor, někdy se může stát, že počítač nalezne zdánlivě zcela nesmyslné řešení.
V tom okamžiku je třeba se zamyslet a na základě znalostí matematické analýzy
a příslušné přibližné metody ověřit, zda někde nenastala chyba a pokusit se ji
odstranit. Tedy i v tomto případě jsou znalosti, jak asi řešení vypadá, co o něm
můžeme říci, zda je jednoznačné a jaké má další vlastnosti, velmi důležité.