Matematická analýza - skripta

4.4.3

Poznámka o lineárních diferenčních rovnicích . . . . . . . . 141

5

Limity podruhé

147

5.1

Posloupnosti a nevlastní limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2

Symboly malé a velké O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.3

Limity monotonních funkcí a posloupností . . . . . . . . . . . . . . 157

5.4

Heineho věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.5

Podposloupnosti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.6

Bolzano-Cauchyova podmínka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6

Spojité a diferencovatelné funkce

169

6.1

Lokální a globální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2

Globální vlastnosti spojitých funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.3

Věty o střední hodnotě a l’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . 178

6.4

První derivace a monotonie funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.5

Konvexita, konkávnost a inflexní body . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.6

Asymptoty

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.7

Průběh funkce

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.8

Taylorův polynom

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.8.1

Alternativní metody hledání Taylorových polynomů . . . . 207

6.9

Dodatek k monotonii a znaménku derivace

. . . . . . . . . . . . . 212

7

Newtonův a Riemannův integrál

215

7.1

Zavedení Newtonova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.2

Darbouxova definice Riemannova integrálu

. . . . . . . . . . . . . 220

7.3

Kritéria existence Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.4

Ekvivalentní definice Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . 227

7.5

Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.6

Vlastnosti Newtonova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.6.1

Existence Newtonova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.6.2

Existence Newtonova integrálu pro funkce měnící znaménko 247

7.7

Věty o střední hodnotě pro Riemannův integrál . . . . . . . . . . . 249

7.8

Dodatek: důkaz Abel–Dirichletova kritéria . . . . . . . . . . . . . . 255

7.9

Dodatek o zobecněné primitivní funkci k f a |f | . . . . . . . . . . . 256

7.10 Dodatek o aplikacích určitého integrálu

. . . . . . . . . . . . . . . 257

Kapitola 1

Motivační úvod

1.1

Matematická analýza ve světle matematiky a
jiných věd

Matematika je bohužel v současnosti pokládána za téměř neslušné slovo, alespoň
v jisté části společnosti, kde je módní chlubit se jejími neznalostmi. Přestože se
tito lidé setkávají s matematikou denně, tváří se, že matematika je zbytečná a
kdo ji umí, je méněcenný. Doufejme, že se to časem změní a chlubit se neznalostí
čehokoliv bude spíše pokládáno za hloupost daného člověka. Ale vraťme se k ma-
tematice. Plno věcí, které v každodenním životě používáme, vychází z nějakého
matematického modelu, na jehož základě funguje. Vezměme si například přenos
dat (zejména v bankovnictví), internet, ale i takové věci jako pračka, fotoaparát,
mobilní telefon, atd.