Matematická analýza - skripta

Pohyb částice v silovém poli

Předpokládejme, že hmotná částice, tj. bezrozměrná částice s nenulovou konstantní
hmotností, se pohybuje v silovém poli. Budeme zanedbávat relativistické efekty.
Začneme jednoduchou situací, kdy se částice může pohybovat pouze ve směru
jedné souřadnicové osy. Její pohyb je popsán Newtonovým pohybovým zákonem

ma = f.

(1.1.1)

Nechť síla f zavisí na čase, na poloze a rychlosti částice. Protože zrychlení a
je vlastně druhou derivací polohy částice a rychlost první derivací, dostáváme
obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu

m

d2x(t)

dt2

= f

t, x(t),

dx(t)

dt

,

(1.1.2)

kde x(t) značí polohu částice v čase t. Abychom měli šanci, že polohu částice
určíme jednoznačně, potřebujeme znát počáteční polohu a rychlost částice,

x(t0) = x0,

dx

dt

(t0) = v(t0) = v0.

(1.1.3)

Dostali jsme počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu. Teď by
měla nastoupit matematická analýza, tj. na základě vlastností funkce f (·, ·, ·) roz-
hodnout o tom, zda má úloha řešení, zda je jednoznačné a na konec na základě
známých metod úlohu vyřešit. To se naučíme mnohem později. Někomu se může
zdát, že přemýšlet o tom, zda má rovnice řešení a zda je jednoznačné, je zbytečná
věc. Uvidíme později, že je sice toto mnohdy zřejmé, ale na druhou stranu, pokud
sestavíme model reality, který nemá řešení, nebo připouští více řešení, která se
reálně nepozorují, tak jsme někde udělali chybu při zanedbávání a zjednodušování
modelu, popřípadě je třeba model doplnit, abychom vyloučili nefyzikální řešení.

Pokud je síla v (1.1.2) konstantní, tj. f = K, potom je řešením naší úlohy (a

to řešením jediným)

x(t) = x(t0) + v(t0)(t − t0) +

1

2

K(t − t0)

2 = x

0 + v0(t − t0) +

1

2

K(t − t0)

2. (1.1.4)

8

KAPITOLA 1. MOTIVAČNÍ ÚVOD

Uvědomme si, že jsme reálnou situaci, tedy částici pohybující se nějakým reál-

ným prostředím, modelovali pomocí pohybu hmotného bodu, přičemž jsme umož-
nili pouze pohyb ve směru jedné souřadnicové osy. Neuvažovali jsme relativistické
efekty, dospěli jsme tedy díky Newtonově pohybovému zákonu k obyčejné diferen-
ciální rovnici (1.1.1). Tu jsme poté formulovali ve tvaru (1.1.2)–(1.1.3) a teprve
nyní mohla nastoupit ke slovu matematická analýza. Ta může určit, za jakých
podmínek má úloha řešení, popř. úlohu vyřešit, jak tomu je například v (1.1.4),
kdy se uvažovala konstantní síla.

Přesnější popis reality získáme, budeme-li uvažovat, že se částice může pohybo-

vat ve všech třech směrech. Dostáváme tedy místo (skalární) obyčejné diferenciální
rovnice (zkráceně ODR) 2. řádu systém tří ODR 2. řádu, který je možno pomocí
vektorové symboliky zapsat jako

m

d2x(t)

dt2

= f

t, x(t),

dx(t)

dt

,

(1.1.5)

či ve složkách

m

d2xi(t)

dt2

= fi

t, x1(t), x2(t), x3(t),

dx1(t)

dt

,

dx2(t)

dt