Matematická analýza - skripta

Jednou z možností, jak tento problém řešit, je uvědomit si, že žádná reálná

tekutina neproudí bez tření. Vnitřní tření popisuje vazkost (viskozita) a odpoví-
dající nejjednodušší model, popisující chování nestlačitelných newtonovských te-
kutin, jsou Navier–Stokesovy rovnice

div u =

3

X

i=1

∂ui
∂xi

= 0,

(1.1.12)

%0

∂ui

∂t

+ %0

3

X

j=1

uj

∂ui

∂xj

− µ

3

X

j=1

∂2ui

∂x2

j

+

∂p

∂xi

= %0fi,

i = 1, 2, 3,

(1.1.13)

kde µ je (pro jednoduchost) konstantní viskozita. Model obsahuje druhé parci-
ální derivace podle prostorových proměnných, musíme tedy příslušným způsobem
upravit definici řešení. Opět musíme předepsat chování tekutiny v počátečním čase
a na hranici. Ukazuje se, že situace je sice mírně lepší než u rovnic Eulerových, ale
stále ne zcela uspokojivá. Klasické řešení opět nemusí existovat (odhady na délku
časového intervalu souvisí s velikostí viskozity, která je ale například u vody velmi
malá), u slabého řešení je situace lepší. Ví se, že existuje, ví se dost o jeho vlast-
nostech, ale otázka jeho jednoznačnosti či diferencovatelnosti pro rozumná data je
otevřená. Tento problém se dokonce dostal mezi tzv. 7 problémů pro nové milé-
nium, za jejichž vyřešení nabídl Clayův matematický institut v roce 2000 odměnu
milión dolarů.

Jen poznamenejme, že situace u dvoudimenzionálního proudění je jiná. Pokud

formálně nahradíme funkci tři prostorových proměnných za funkci dvou prostoro-
vých proměnných a místo tří složek rychlosti uvažujeme dvě, ví se, že pro vhodnou
počáteční podmínku existuje právě jedno klasické řešení. My ale žijeme ve třech
dimenzích a tak nás spíše zajímá něco jiného.

Poznamenejme ale, že tyto modely dávají ve speciálních situacích fyzikálně ro-

zumná řešení. Například pro Eulerovy rovnice, pokud předpokládáme potenciální

1.1. MA A JINÉ VĚDY

11

sílu (gravitační síla taková je), lze integrací rovnice (1.1.11) přes proudnice dostat
tzv. Bernoulliho zákon, tj.

1

2

%0|u|

2 + p + %

0U = const,

kde fi = −

∂U

∂xi

. Dále speciálním řešením Navier–Stokesových rovnic popisující

proudění newtonovské tekutiny v trubici kruhového průřezu (za předpokladu, že
tekutina ulpívá na stěně) je tzv. Poisseillovo proudění, které vykazuje parabo-
lický profil rychlosti, což v některých případech dobře aproximuje reálné proudění
některých tekutin.

Tedy výše uvedené modely v některých případech dobře aproximují realitu.

Ovšem jak dobře souvisí v obecné situaci s problémy, na které jsme upozornili.
Odpovědi na výše zmíněné otázky existence a jednoznačnosti řešení, ať negativní
či pozitivní, asi neovlivní, že se tyto modely budou nadále používat, ale mohou
přivést k zamyšlení, zda reálné tekutiny nejsou komplikovanější než předpoklá-
dají nejjednodušší modely a co je rozumné přidat, aby modely nejen fungovaly
jako dobrá aproximace, ale aby současně byly jednoznačně řešitelné. To může být
důležité i při volbě numerického řešení daného modelu.