Matematická analýza - skripta

2.1. OPAKOVÁNÍ ZE SŠ

19

(v) P ∩ M = {x : x ∈ M ∧ x ∈ P } (průnik množin)
(vi) P ( M ⇐⇒ P ⊂ M ∧ P 6= M (vlastní podmnožina)
(vii) ∅ je prázdná množina a je podmnožinou každé množiny
(viii) #M je počet prvků, který zavádíme jen pro konečné množiny
(ix) exp M je množina všech pomnožin (včetně M a ∅), platí # exp M = 2#M
(x) M \ P = {x ∈ M : x /

∈ P } (rozdíl množin)

(xi) M ∆P = (M \ P ) ∪ (P \ M ) (symetrická diference množin).

Poznámka 2.1.15. Mezi značením nerovností a množinových inkluzí je jistý ne-
soulad. Zatímco x < y vylučuje případ x = y, v množinovém značení je připuštěno
A ⊂ A.

Příklad 2.1.16. Pro množinu {1, 2, 3} máme

exp{1, 2, 3} =

n

∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

o

a platí # exp{1, 2, 3} = 8 = 23 = 2#{1,2,3}.

Tvrzení 2.1.17. Nechť A, B jsou množiny. Pak

(A \ B) ∪ (A ∩ B) = A

(A ∪ B) \ (A ∩ B) = A∆B.

Důkaz. Rovnosti ověříme ve čtyřech možných případech x ∈ A∧x ∈ B, x ∈ A∧x /

∈

B, x /

∈ A ∧ x ∈ B a x /

∈ A ∧ x /

∈ B. Pro ilustraci si ukažme důkaz první rovnosti

pro první případ. Levá strana zjevně obsahuje x, protože x patří do průniku obou
množin. Proto ho pravá strana obsahuje též. Analogicky se postupuje v ostatních
případech.

Definice 2.1.18 (Sjednocení a průnik systému množin). Nechť M je systém
množin. Sjednocením systému M nazveme množinu všech bodů, které leží ale-
spoň v jedné z množin M ∈ M, tedy

[

M ∈M

= {x : ∃M ∈ M

x ∈ M }.

Průnikem systému M nazveme množinu všech bodů, které leží ve všech množinách
M ∈ M, tedy

\

M ∈M

= {x : ∀M ∈ M

x ∈ M }.

Příklad 2.1.19. Pro systém množin M := {(−∞, y) : y ∈ (0, 1)} platí

[

y∈(0,1)

(−∞, y) = (−∞, 1)

a

\

y∈(0,1)

(−∞, y) = (−∞, 0].

Tvrzení 2.1.20 (De Morganovy vzorce). Nechť A, B, C jsou množiny. Pak

C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)

C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B).

20

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Nechť P je množina a M je systém množin. Pak

P \

[

M ∈M

M =

\

M ∈M

P \ M

P \

\

M ∈M

M =

[

M ∈M

P \ M.

Důkaz. Uvažme druhou situaci, tj. libovolný počet množin. Ukažme nejprve, že
P \

S

M ∈M M ⊂

T

M ∈M P \ M . Nechť tedy x ∈ P \

S

M ∈M M . Potom nutně

x ∈ P , ale x nepatří do žádné z množin patřících do M, tedy patří do každé
množiny P \ M pro M ∈ M. Ukažme druhou inkluzi. Nechť x ∈

T

M ∈M P \ M .

Tedy x ∈ P \ M pro každé M ∈ M. Proto x ∈ P , ale x /

∈

S

M ∈M M . Analogicky

se postupuje i v jiných případech.

Definice 2.1.21 (Kartézský součin množin). Nechť A, B jsou množiny. Kartézský
součin A × B definujeme předpisem A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} (jedná
se tedy o množinu uspořádaných dvojic prvků z A a B). Analogicky definujeme
A1 × · · · × Ak pro k ∈ N, k ≥ 3.

Poznámka 2.1.22. (i) Obecně A × B 6= B × A. Stačí volit třeba A = (0, 1)
a B = (1, 2). Pokud by však platilo A = B, nebo alespoň jedna z množin byla
prázdná, měli bychom A × B = B × A.
(ii) Často budeme pracovat s množinou R × · · · × R (N -krát). Budeme ji značit
R