Matematická analýza - skripta

N , podobně jako například ZN či NN .

Důležitým pojmem je axiom výběru. Zdánlivě je přirozené očekávat, že mohu

z každé množiny z nějakého souboru množin vždy vybrat po jednom prvku, ať
je počet množin jakýkoliv. Překvapivě to ale vede v některých případech k zají-
mavým paradoxům, jako je například Banach–Tarského věta (v jistém matema-
tickém smyslu mohu zdvojnásobovat hmotu). Na druhou stranu matematika bez
axiomu výběru je podstatně ochuzená o mnohé důležité výsledky. Axiomatická te-
orie množin, která nahrazuje intuitivní teorii množin a zbavuje nás paradoxů typu
Příklad 2.1.13, blíže viz např. [BaSt TeMno], si s tímto problémem neumí poradit.
Pokud mám bezespornou teorii množin (tj. teorii, která neobsahuje žádný vnitřní
rozpor) a přidám k ní axiom výběru, teorie zůstane bezespornou.

Ovšem pojem bezespornosti není také tak jednoduchý. Důležitý výsledek K.

Gödela říká, že nelze konstruktivně prostředky teorie množin ověřit, že daná teorie
je bezesporná. Vždy v ní existují výroky, které nelze konstruktivně dokázat.

2.1.3

Zobrazení

Pojem zobrazení je také jedním ze základních pojmů v matematické analýze.

Definice 2.1.23 (Zobrazení). Nechť A, B, D jsou množiny a D ⊂ A. Nechť ka-
ždému prvku x ∈ D je přiřazeno právě jedno yx ∈ B. Označme ϕ(x) := yx. Pak
říkáme, že ϕ : A → B je zobrazení z množiny A do množiny B.

2.1. OPAKOVÁNÍ ZE SŠ

21

Množinu D nazýváme definičním oborem ϕ a značíme ji Dϕ. Množina ϕ(D) :=

{ϕ(x) : x ∈ D} se nazývá oborem hodnot (někdy se také značí Rϕ či Hϕ). Množina
ϕ−1({y}) := {x ∈ D : ϕ(x) = y} se nazývá vzorem prvku y.

Jestliže x1 6= x2 =⇒ ϕ(x1) 6= ϕ(x2), ϕ se nazývá prosté zobrazení (nebo také

injektivní). Jestliže Rϕ = B, řekneme, že ϕ je na (jde o zkrácení: ϕ zobrazuje A
na (celé) B; surjektivní zobrazení). Je-li ϕ prosté, na a Dϕ = A, říkáme, že ϕ je
vzájemně jednoznačné (bijektivní).

Poznámka 2.1.24. Množina ϕ−1({y}) může být prázdná. Obecně lze definovat
vzor jakékoliv podmnožiny B. Někdy se stručně píše ϕ−1(y), což může být zavá-
dějící vzhledem k označení inverzního zobrazení.

Poznámka 2.1.25. Podmínka pro prostotu zobrazení se dá ekvivalentě zapsat
jako

ϕ(x1) = ϕ(x2) =⇒ x1 = x2.

Cvičení 2.1.26. Ověřte, že implikace z Poznámky 2.1.25 je ekvivalentní definici
prostého zobrazení.

Poznámka 2.1.27. Pokud definujeme ϕ(x) = x2 pro x ∈ R (tedy Dϕ = R), máme
zobrazení, které není prosté. Pokud definujeme ψ(x) = x2 pro x ∈ (0, ∞), máme
bijekci mezi (0, ∞) a (0, ∞). Při zadávání zobrazení je tedy důležité se nejenom
zabývat předpisem, ale i definičním oborem. Podobně lze porovnávat například
ϕ(x) = 1 a ψ(x) =

x
x (není-li definiční obor explicitně uveden, uvažuje se největší

možný, což je zde Dϕ = R a Dψ = R \ {0}).

Uveďme některá důležitá zobrazení a některé důležité pojmy, které budeme