Matematická analýza - skripta

ždé číslo je racionální (vyjádřitelné jako podíl dvou celých čísel), například délka
přepony v pravoúhlém trojúhelníku s délkami odvěsen 1 je iracionální. Základy
logiky se pak objevují u Aristotela (384–322 př.n.l.). Antická matematika se se-
tkává i s pojmem nekonečna, slavné jsou například paradoxy typu Achilles a želva.
Chápala ho ale jako nekonečno potenciální, tedy jako nikdy nekončící proces při-
bližování se k němu.

Evropská (chápáno jako křesťanská) matematika se na úroveň matematiky

řecké (a arabské) dostávala velmi pozvolna, snad až někdy kolem 15. století může-
me říci, že všechny její myšlenky plně vstřebala. V 16. století pak Francois Vi`

ete

(1540–1603) zavádí symboliku blízkou dnešní, písmena pro označení konstant i
proměnných. Tuto symboliku zdokonalil v 17. století René Descartes (1596–1650),
který je současně zakladatelem analytické geometrie.

Velkým výsledkem matematiky 17. století je pak zrod infinitezimálního počtu;

došlo k němu nezávisle v pracích Isaaca Newtona (1643–1727) a Gottfrieda Wilhel-
ma von Leibnize (1646–1716). Později tyto myšlenky rozvinuli Jacob (1655–1705)
a Johann Bernoulliové (1667–1748) (posledně jmenovaný zavedl pojem integrál).
V 18. století k nim ještě můžeme přiřadit Leonharda Eulera (1707–1783) (přispěl
k rozvoji prakticky celé matematiky), Josepha-Louise Lagrange (1736–1813) (vě-
noval se především variačnímu počtu) a Brooka Taylora (1685–1731) (studoval
nekonečné řady a rozvoje funkcí do řad).

V 19. století se pak zjišťuje, že základní pojmy matematické analýzy je třeba

zpřesnit. Uvědomili k tomu nezávisle na sobě v Praze Bernard Bolzano (1781–1848)
a ve Francii Augustin Louis Cauchy (1789–1857), který zavedl pojem limita funkce.
Karl Weierstraß (1815–1897) dobudoval tzv. ε-δ gymnastiku, zanedlouho se s ní
seznámíme. Richard Dedekind (1831–1916) (jeho žák) pak rigorózně vybudoval
teorii reálných čísel a Georg Cantor (1845–1918) začal systematicky budovat teorii
množin.

Cantor zavádí do matematiky pojem aktuálního nekonečna, například N chá-

peme rovnou jako jako celek, který má nekonečně (ale spočetně) mnoho prvků.
Ovšem pojem množiny chápaný intuitivně se ukazuje jako neudržitelný.

O nápravu se pokusil David Hilbert (1862–1943), který chtěl matematiku for-

1.2. HISTORIE MA

13

málně přesně vybudovat a pak ukázat její bezespornost. To se ukázalo jako ne-
možné, díky pracím Kurta Gödela (1906–1978), který ukázal, že je-li axiomatická
teorie bezesporná, pak v ní existuje tvrzení, které nelze ani dokázat, ani vyvrátit
a neexistuje žádný konstruktivní přístup, který by ukázal, že teorie je bezesporná.

I přes tyto obtíže zůstává matematika ojedinělou vědou s velkým významem

pro jiné obory, ale i se svou vlastní vnitřní krásou.

Shrnutí a závěrečné poznámky. Pokusili jsme se přesvědčit čtenáře přesvědčit o