Matematická analýza - skripta

0 ≤ M =

M + M

2

<

M + 1

2

<

1 + 1

2

= 1.

Tedy

M +1

2

∈ B a zároveň M+1

2

> M . Prvek M tedy nemůže být maximem, což je

spor. Proto max B neexistuje.

Dále tvrdíme, že inf B = 0. Prvek 0 je dolní závorou B. Zafixujeme-li y ∈ R

splňující y > 0, stačí položit x = 0 a vidíme, že je splněna i druhá vlastnost infima.
Ještě ukažme, že sup B = 1. První vlastnost je zřejmě splněna. Druhá vlastnost
suprema se ukáže tak, že k zafixovanému y < 1 zkonstruujeme x = max{

1
2 ,

y+1

2

}.

I

Poznámka 2.2.7. Snadno se z definice ověří, že existuje-li minimum, existuje i
infimum a rovnají se. Podobně existuje-li maximum, existuje i supremum a rovnají
se.

Nyní se můžeme pustit do axiomatického vybudování reálných čísel. Jeho vý-

hodou je, že jen opakuje kalkulus, který se učí na základních a středních školách.

Definice 2.2.8. Nechť R je množina s uspořádáním označeným ≤, operací sčí-
tání označenou + a operací násobení označenou ·. Množinu R nazveme množinou
reálných čísel, jestliže:
(A1) ∀α, β ∈ R ∃!γ ∈ R γ = α + β
(A2) ∀α, β ∈ R α + β = β + α (komutativita sčítání)
(A3) ∀α, β, γ ∈ R (α + β) + γ = α + (β + γ) (asociativita sčítání)

26

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

(A4) ∃0 ∈ R∀x ∈ R x + 0 = 0 + x = x

(existence neutrálního prvku)

(A5) ∀x ∈ R∃ − x ∈ R x + (−x) = (−x) + x = 0 (existence inverzního prvku)
(P1) ∀α, β ∈ R ∃!γ ∈ R γ = α · β
(P2) ∀α, β ∈ R α · β = β · α (komutativita násobení)
(P3) ∀α, β, γ ∈ R (α · β) · γ = α · (β · γ) (asociativita násobení)
(P4) ∃1 ∈ R∀x ∈ R x · 1 = 1 · x = x

(existence neutrálního prvku)

(P5) ∀x ∈ R \ {0}∃x

−1 ∈ R x · x−1 = x−1 · x = 1 (existence inverzního prvku)

(D1) ∀α, β, γ ∈ R α · (β + γ) = α · β + α · γ

(distributivita)

(O1) uspořádání ≤ je úplné
(O2) ∀α, β ∈ R 0 ≤ α ∧ 0 ≤ β =⇒ 0 ≤ α · β
(O3) ∀α, β, γ ∈ R α ≤ β =⇒ 0 ≤ α + γ ≤ β + γ
(C1) každá shora omezená neprázdná podmnožina R má v R supremum.

Poznámka 2.2.9. Samozřejmě, nic není zadarmo. Je třeba ukázat, že tato definice
dává (až na izomorfní zobrazení) množinu R jednoznačně. To je možno ukázat, ale
my se tím nebudeme zabývat a odkazujeme čtenáře například na [Di An].

Poznámka 2.2.10. (i) prvních jedenáct axiomů splňuje také dvouprvková mno-
žina {0, 1} s operacemi definovanými následovně

+

0

1

0

0

1

1

1

0

·

0

1

0

0

0

1

0

1

(ii) bez podmínky (C1) by definici splňovala i množina racionálních čísel.

Poznámka 2.2.11. Z definice reálných čísel se dají poměrně snadno odvodit
následující pravidla. Nechť x ∈ R, pak

0 · x = 0

(−1) · (−1) = 1

(−1) · x = −x

1 > 0

(x

−1)−1 = x pro x 6= 0

x · x ≥ 0

x · x = 0 ⇐⇒ x = 0

x > 0 ⇐⇒ x

−1 > 0

x > 1 ⇐⇒ 0 < x

−1 < 1.

Cvičení 2.2.12. Dokažte použitím axiomů z Definice 2.2.8 tvrzení z Poznámky
2.2.11.

Podmnožinu R ležící mezi dvěma body nazýváme interval. Pro a, b ∈ R, kde

a < b, definujeme (připomeňme ±∞ /

∈ R)

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

(a, +∞) = {x ∈ R : x > a}

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}