Matematická analýza - skripta

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

33

důkazem nerovností a ≤ b a b ≤ a. Dalším častým problémem je, že řada mate-
matických nástrojů neposkytuje požadovanou nerovnost typu a ≤ b přímo, ale jen
v nějaké slabší podobě. Následující výsledek ukazuje situaci, kdy nerovnost a ≤ b
může být nahrazena velkým množstvím slabších výsledků.

Tvrzení 2.2.31. Nechť x, y ∈ R. Pak

x ≤ y

⇐⇒

x ≤ y + ε

∀ε > 0.

Důkaz. Implikace „⇒ÿ je zřejmá. Implikaci „⇐ÿ dokážeme nepřímo. Předpoklá-
dejme, že x > y. Můžeme pak položit ε :=

x−y

2

> 0. Proto máme

y + ε = y +

x − y

2

= x −

x − y

2

< x,

tedy neplatí ani výrok na pravé straně dokazované implikace a jsme hotovi.

Poznámka 2.2.32. (i) Snadno se ověří, že předchozí tvrzení zůstává v platnosti,
nahradíme-li pravou stranu ekvivalence kteroukoliv z následujících podmínek

x < y + ε

∀ε > 0,

x ≤ y + 2ε

∀ε > 0,

x ≤ y + ε

2

∀ε > 0,

x ≤ y +

1

n

∀n ∈ N.

Poslední podmínka vyžaduje větší zásah do důkazu, kdy v situaci x > y hledáme
n ∈ N dost velké, aby y +

1

n < x, neboli n >

1

x−y .

(ii) Na levé straně nemůžeme psát x < y.
(iii) Jednou z nejčastějších aplikací předchozího tvrzení je x ≤ ε ∀ε > 0 =⇒ x ≤ 0.

Následuje několik tvrzení, v nichž si ukážeme, že racionálních čísel je velmi

mnoho.

Tvrzení 2.2.33. Nechť x, y ∈ R a x < y. Pak existuje q ∈ Q takové, že x < q < y.

Důkaz. Nejprve zafixujme m ∈ N0 dost velké, aby m + x > 0. Dále si zafixujme
r ∈ N dost velké, aby splňovalo

1
r < y − x. Nyní nalezněme p ∈ N minimální, aby

platilo

p
r > m + x (existence plyne z toho, že N je zdola omezená množina). Proto

p−1

r

≤ m + x a celkově máme

x <

p

r

− m =

p − 1

r

− m +

1

r

≤ x +

1

r

< x + y − x = y.

Proto

p
r − m =

p−rm

r

má vlastnosti hledaného racionálního čísla.

Důsledek 2.2.34. Nechť x, y ∈ R a x < y. Pak existuje nekonečně mnoho racio-
nálních čísel z intervalu (x, y).

Důkaz. Z předchozího tvrzení víme, že alespoň jedno racionální číslo z intervalu
(x, y) existuje. Pokud by jich byl jen konečný počet, označme q1 nejmenší z nich.
Nyní podle předchozího tvrzení existuje q0 ∈ Q takové, že x < q0 < q1. To je spor,
neboť q1 mělo být nejmenší.

34

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Označení 2.2.35. Reálná čísla, která nejsou racionální, se nazývají iracionální a
jejich množinu značíme R \ Q.

Postupně si v několika krocích ukážeme, že i iracionálních čísel je velmi mnoho.

Začneme tím, že alespoň jedno iracionální číslo existuje.

Tvrzení 2.2.36. Číslo

√

2 je iracionální.

Důkaz. Pokud by číslo

√

2 bylo racionální, po přepisu do nesoudělného tvaru a

prvočíselném rozkladu bychom dostali

2 =

√

2

2

=

p2

1p

2

2 . . . p

2
k

q2

1 q

2

2 . . . q

2

m

,

(2.2.7)

kde p1, . . . , pk jsou vzestupně seřazená prvočísla a totéž platí pro q1, . . . , qm. Ze
zápisu (2.2.7) plyne, že p1 = 2. Pak ale po úpravě dostáváme

q

2

1 q

2

2 . . . q

2

m = 2p

2
2 . . . p

2
k .

Odtud q1 = 2 a to je spor s nesoudělností čitatele a jmenovatele v zápisu čísla

√

2.

Připomeňme, že součet dvou racionálních čísel je vždy racionální (to snadno to

plyne z převodu na společný jmenovatel). Součet dvou iracionálních čísel může být
jak racionální (

√

2 −

√

2), tak iracionální

√

2 +

√

2. Pokud sčítáme číslo racionální

s číslem iracionálním, může nastat jen jedna možnost.

Tvrzení 2.2.37. Nechť q ∈ Q a r ∈ R \ Q. Pak q + r ∈ R \ Q.

Důkaz. Pokud by platilo q + r ∈ Q, nutně by platilo i −q + (q + r) ∈ Q. To je spor,
neboť −q + (q + r) = r ∈ R \ Q.

Důsledek 2.2.38. Množina Q nesplňuje podmínku (C1) z definice reálných čísel.

Důkaz. Označme M = {q ∈ Q : q

2 ≤ 2}. O této shora omezené množině ukážeme,

že nemá supremum v Q. Pro spor předpokládejme, že existuje S := sup M ∈ Q.
Nutně pak S 6=

√

2, neboť

√

2 ∈ R \ Q. Pokud by platilo S <

√

2, pak bychom

dokázali najít racionální číslo q ∈ (S,

√

2) a tím bychom dostali spor s první

vlastností suprema. Zbývá tedy případ S >

√

2. Tentokrát najdeme racionální

q ∈ (

√

2, S), tedy horní závoru M , která je menší než S, a dostáváme spor s druhou

vlastností suprema.

Tvrzení 2.2.39. Nechť x, y ∈ R a x < y. Pak existuje nekonečně mnoho iracio-
nálních čísel z intervalu (x, y).

Důkaz. Nejprve ukážeme, že v intervalu (x, y) existuje alespoň jedno iracionální
číslo. Podle Tvrzení 2.2.33 existuje q ∈ Q ∩ (x −

√

2, y −

√

2), tedy q +

√

2 ∈ (x, y),

což je iracionální číslo, neboť je součtem racionálního čísla s iracionálním.

Pokud by takových čísel byl jen konečný počet, označili bychom nejmenší

z nich r1 a nalezením iracionálního čísla v intervalu (x, r1) (pomocí již dokáza-
ného) dostáváme spor.

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

35

2.2.4

Základní rovnosti a nerovnosti

Definice 2.2.40 (Absolutní hodnota). Nechť x ∈ R. Jeho absolutní hodnotu de-
finujeme předpisem

|x| =

(

x

pro x ≥ 0

−x

pro x < 0.

Tvrzení 2.2.41. Nechť a ≥ 0. Pak pro x ∈ R platí

|x| ≤ a

⇐⇒

−a ≤ x ≤ a.

Speciálně −|x| ≤ x ≤ |x|.

Důkaz. Uvažme dva případy. Pokud x ≥ 0, jsou výroky x = |x| ≤ a a −a ≤ x ≤ a
zřejmě ekvivalentní. Pokud x < 0, nalevo máme výrok −x ≤ a a napravo (po
přenásobení číslem −1) −a ≤ −x ≤ a, což jsou opět ekvivalentní výroky.

Tvrzení 2.2.42 (Trojúhelníková nerovnost). Pro všechna x, y, z ∈ R platí

|x + y| ≤ |x| + |y|

||x| − |y|| ≤ |x − y|

|x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.

Důkaz. Podle Tvrzení 2.2.41 máme −|x| ≤ x ≤ |x| a −|y| ≤ y ≤ |y|. Proto po
sečtení

−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|.

Nyní Tvrzení 2.2.41 s volbou a = |x| + |y| dává |x + y| ≤ |x| + |y|.

Dále využijeme právě dokázanou nerovnost

|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y|.

Odtud |x| − |y| ≤ |x − y|. Prohozením rolí x a y bychom dostali

|y| − |x| ≤ |y − x| = |x − y|.

Poslední dva odhady dávají ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Třetí z dokazovaných nerovností plyne okamžitě z první.

Poznámka 2.2.43. Občas se hodí následující vzoreček vyjadřující vztah mezi
maximem dvou čísel a absolutní hodnotou jejich rozdílu

max{x, y} =

x + y + |x − y|

2

.

Tento vzoreček se snadno dokáže rozlišením případů x ≥ y a x < y.

36

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Tvrzení 2.2.44 (Cauchy–Schwarzovy nerovnosti). Nechť a1, . . . , aN a b1, . . . , bN
jsou N -tice reálných čísel a ε > 0. Pak

N

X

k=1

akbk

2

≤

N

X

k=1

a

2
k

N

X

k=1

b

2
k

a

N

X

k=1

akbk ≤ ε

N

X

k=1

a

2
k +

1

4ε

N

X

k=1

b

2
k .

Důkaz. Předně si povšimněme, že pro libovolnou volbu λ ∈ R platí

N

X

k=1

(λak + bk)

2 ≥ 0.

Definujeme-li A :=

PN

k=1 a

2
k , B :=

PN

k=1 ak bk a C :=

PN

k=1 b

2
k , naše nerovnost má

tvar

λ

2A + 2λB + C ≥ 0.

(2.2.8)

Pokud A 6= 0, položme λ = −

B
A a z (2.2.8) dostáváme

B

2

A − 2

B

2

A + C ≥ 0. To

je ekvivalentní B2 ≤ AC, což při naší volbě A, B, C dává přesně první Cauchy–
Schwarzovu nerovnost. Zbývá ověřit, že první Cauchy–Schwarzova nerovnost platí
i v případě A = 0, ale to je zřejmé.

Při důkazu druhé Cauchy–Schwarzovy nerovnosti si nejprve povšimněme, že

pro a, b ∈ R vždy platí (a − b)

2 ≥ 0. Odtud jednoduchou úpravou dostáváme

ab ≤

a2

2

+

b2

2

.

Položíme-li nyní v předchozí nerovnosti a = α

√

2ε a b =

β

√

2ε

, dostáváme

αβ ≤ εα

2 +

1

4ε

β

2.

Nyní stačí použít poslední nerovnost na všechny sčítance typu akbk zvlášť.

Poznámka 2.2.45. (i) Pokud si čísla a1, . . . , aN představíme jako souřadnice
vektoru a ∈ R

N , podobně pro b ∈ RN , skalární součin a·b definujeme standardním

vzorcem a pokud si na R