Matematická analýza - skripta

−1 pracuje na prostoru R,

jehož prvky označujeme y a y0).

78

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

x0

x

R

y0

y

R

f

f −1

Obrázek 3.6: Schéma pro derivaci inverzní funkce.

Naše Věta o derivaci inverzní funkce (Věta 3.3.16) má jednu slabinu a tou je

požadavek (iii). V aplikacích totiž většinou máme nějaké informace o funkci f ,
zatímco o funkci f −1 nevíme nic. Uveďme si zde pro ilustraci další dvě verze, v ni-
chž jsou zakomponovány podmínky zaručující existenci a spojitost inverze. Tyto
věty dokážeme později. V dalším výkladu vedoucím k jejich důkazu je nebudeme
používat, nehrozí tedy důkaz kruhem.

První výsledek plyne z Věty o derivaci inverzní funkce (Věta 3.3.16) a násle-

dujícího lemmatu.

Připomeňme ale nejprve následující definici.

Definice 3.3.20 (Monotonie na intervalu). Funkci f nazýváme rostoucí na (a, b),
jestliže x > y ⇒ f (x) > f (y) pro všechna x, y z (a, b). Analogicky pro klesající
funkci. Funkce rostoucí nebo klesající se nazývá ryze monotonní. Funkci f nazý-
váme neklesající na (a, b), jestliže x > y ⇒ f (x) ≥ f (y) pro všechna x, y z (a, b).
Analogicky pro nerostoucí funkci.

Lemma 3.3.21 (O spojitosti inverzní funkce). Nechť f : R → R je ryze monotonní
a spojitá na intervalu (a, b). Pak obrazem intervalu (a, b) je interval (c, d), kde

c = lim

x→a+

f (x)

a

d = lim

x→b−

f (x)

je-li f rostoucí

c = lim

x→b−

f (x)

a

d = lim

x→a+

f (x)

je-li f klesající

(limity mohou být i nevlastní). Dále existuje funkce f −1, je spojitá na inter-
valu (c, d) a zobrazuje jej na interval (a, b).

Důkaz tohoto lemmatu budeme zatím dlužit.

Věta 3.3.22 (O derivaci inverzní funkce II). Nechť x0 ∈ R a f : R → R je spojitá
a ryze monotonní na jistém okolí bodu x0. Nechť existuje vlastní nenulová f

0(x

0).

Pak (f −1)0(f (x0)) =

1

f 0(x0)

.

Druhý výsledek používá vztah monotonie a znaménka derivace, čemuž se bu-

deme věnovat v jedné z dalších kapitol.

3.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

79

Věta 3.3.23 (O derivaci inverzní funkce III). Nechť x0 ∈ R a f : R → R splňuje
jednu z podmínek:
(i) na jistém okolí bodu x0 platí f

0 ∈ (0, +∞)

(ii) na jistém okolí bodu x0 platí f

0 ∈ (−∞, 0).

Pak (f −1)0(f (x0)) =

1

f 0(x0)

.

Poznámka 3.3.24. Povšimněte si, že v našem příkladu s volbou f (x) = x2, x > 0,
bylo možné použít i obě nové věty.

Poznámka 3.3.25. Funkce, které mají vlastní derivaci (v bodě nebo na inter-
valu), budeme nazývat diferencovatelné (v bodě nebo na na intervalu), zatímco
pokud připustíme, že derivace může být nevlastní, budeme pouze říkat, že funkce
má (v bodě či na intervalu) derivaci.

3.4

Elementární funkce

Probranou teorii jsme až do této chvíle mohli demonstrovat jen na malém počtu
příkladů, neboť jsme doposud znali jen velmi málo funkcí. V této sekci naši sadu
používaných funkcí obohatíme o elementární funkce, se kterými bývá zvykem pra-
covat již na střední škole. Zde však narážíme na jeden problém. Standardní definice
těchto funkcí pracují s pojmem nekonečné řady a při odvozování jejich vlastností
se pracuje s hlubšími větami z teorie nekonečných řad. Některé výsledky tedy za-
tím jen zformulujeme a důkaz zůstaneme dlužni. Rádi bychom čtenáře ubezpečili,
že nedojde k důkazu kruhem. Další budování teorie se bez těchto funkcí obejde,
naším cílem je tyto funkce čtenáři zpřístupnit, aby na ně mohl aplikovat čerstvě
probrané teoretické výsledky a díky tomu těmto výsledkům lépe porozuměl. Hlubší
výsledky, jejichž důkaz zůstaneme dlužni, zde budeme nazývat větami, dokazova-
ným jednodušším výsledkům, které z těchto vět plynou, budeme říkat tvrzení.