1_6_Tuhe teleso

126 

Podívejme se na pojem těžiště tělesa podrobněji – určeme si jak stanovíme jeho polohu vůči 
zvolenému bodu O. 

Vyjdeme  z představy  tělesa  jako  soustavy  hmotných  bodů  o  hmotnostech  mj  a  hybnostech 
mjvj. Polohu jednotlivých hmotných bodů si určíme pomocí jejich polohových vektorů rj jak 
je  znázorněno  na  Obr.  1.6.-6.  Jak  už  jsme  si  řekli  výše  je  těleso  hmotný  bod  s hmotností 

∑

=

j

m

m

  a  celkovou  hybností 

j

j

m v

p

∑

=

.  Hybnost  celého  tělesa  je  dána  součtem 

hybností  jeho  jednotlivých  hmotných  bodů.  Soustředíme-li  celkovou  hmotnost  tělesa  do 
těžiště, pak jeho hybnost můžeme vyjádřit jako součin celkové hmotnosti a rychlosti těžiště vt. 

Musí tedy platit: 

Obr. 1.6.-6 

j

j

t

m

m

v

∑

=

v

 . 

Rychlosti  si  v tomto  vztahu  vyjádříme  jako  první  časovou  derivaci 

t

d

dr

v

=

  a  po  integraci 

získaného vztahu přes čas dostaneme 

j

j

t

m

m

r

r

∑

=

, 

kde  symbolem  rt jsme si označili polohový vektor těžiště. Z posledního vztahu si vyjádříme 
tento polohový vektor 

∑

=

j

j

t

m

m

r

r

1

1.6.-2 

Vztah 1.6.-2 je vhodný pro určení polohy těžiště v případě soustavy hmotných bodů. Ale my 
se  zabýváme  tělesem,  u  kterého  předpokládáme  spojitě  rozloženou  hmotnost.  Celé  těleso  si 
tedy rozložíme na malé objemové element dV , které považujeme za hmotné body hmotnosti 
dm  jejichž  poloha  je  určena  polohovým  vektorem  r.  V tomto  případě  nahradíme  sumaci  ve 
vztahu 1.6.-2 integrálem a dostaneme vztah