M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

Cvičení 2.11.1

Uvádíme výsledky mezivýpočtů, které jsou již postačující pro nakreslení grafů

získaných funkcí.

Poznámky k označení: N nulové body, I inflexní body, E extremální body

funkce.

———————————————————————————————————

2.13 Klíč, Testy ke zpracování

49

1) f (x) = x

x2−1 ,

f 0(x) = − x

2+1

(x2−1)2 ,

f 00(x) =

2x·(x2+3)

(x2−1)3 ,

D(f ) = D(f 0) = D(f 00) = R − {−1, 1},

N = [0, 0], I = [0, 0],

asymptoty:

x = 1 pro x → 1±, x = −1 pro x → −1±,
y = 0 pro x → ±∞.

2) f (x) = e

x

x+1 ,

f 0(x) = xe

x

(x+1)2 ,

f 00(x) =

(x2+1)ex

(x+1)3 ,

D(f ) = D(f 0) = D(f 00) = R − {−1},

E = [0, 1],

asymptota: y = 0 pro x → −∞.

3) f (x) = 1−ln x

x

,

f 0(x) = −2+ln x

x2

,

f 00(x) = 5−2 ln x

x3

,

D(f ) = D(f 0) = D(f 00) = (0, ∞),

N = [e, 0], E = [e2, −e2], I = [e5/2, −3

2 e

−5/2],

asymptoty: x = 0 pro x → 0+, y = 0 pro x → ∞.

4) f (x) = arcsin 2x

1+x2 , D(f ) = R,

f 0(x) =

½

2

1+x2 pro |x| < 1

− 2

1+x2 pro |x| > 1

,

f 00(x) =

(

− 4x

(1+x2)2 pro |x| < 1

4x

(1+x2)2 pro |x| > 1

,

D(f 0) = D(f 00) = R − {−1, 1},

N = [0, 0], E1 = [−1, −π/2], E2 = [1, π/2], I = [0, 0],

asymptota: y = 0 pro x → ±∞.

———————————————————————————————————

50

Derivace funkce

Test I.3

Jméno a příjmení:
Adresa:

E-mail:
Telefon:

1. Určete derivaci f 0(x) a definiční obory D(f ), D(f 0) funkce

a) f (x) =

x

√

1−x2

· arcsin x + ln

√

1 − x2,

b) f (x) =

¡

x

x−1

¢x

= ex·ln

x

x−1

.

2. Derivujte a upravte

a) f (x) =

√

ax − x2 − a · arctg