M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2.11 Průběh funkce
43
3.
g00(x) = e−
3
x
· (2 + (2x + 3) ·
3
x2
) = e−
3
x
·
2x2 + 6x + 9
x2
,
D(g00) = D(g0) = D(g),
znam g00(x)
-
x
^ +
a`
0
^ +
Inflexní bod funkce g nemá.
4.
lim
x→0+
x2e−3/x = 0 · 0 = 0,
lim
x→0−
x2e−3/x = [0 · ∞] = lim
x→0−
e−3/x
1
x2
=
h∞
∞
i
LP
= lim
x→0−
e−3/x · 3
x2
− 2
x3
=
= −
3
2
lim
x→0−
e−3/x
1
x
=
·
∞
−∞
¸
LP
= −
3
2
lim
x→0−
e−3/x · 3
x2
− 1
x2
=
9
2
lim
x→0−
e−3/x = ∞.
(Limitu je možno jednodušeji spočítat zavedením substituce t = 1/x.)
Přímka x = 0 je tedy (svislá) asymptota. neboť jedna jednostranná limita je
nevlastní. Dále
lim
x→∞
x2e−3/x = ∞ · 1 = ∞,
lim
x→−∞
x2e−3/x = ∞ · 1 = ∞,
lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
xe−3/x = ±∞.
Šikmé ani vodorovné asymptoty nejsou.
5. Graf funkce (2.4).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
h(x) = arcsin
2
x
,
1. Pro definiční obor platí −1 ≤ 2
x ≤ 1. Odtud D(f ) = (−∞, −2i ∪ h2, ∞).
(Pozor na časté chybné řešení, získané roznásobením x bez předpokladů o jeho zna-
ménku.)
znam h(x)
-
x
−
`a
−2
`a
2
+
———————————————————————————————————
44
Derivace funkce
Obrázek 2.4:
h je lichá (plyne to z lichosti funkce arcsin).
2.
h0(x) =
1
q
1 − 4
x2
·
−2
x2
=
−2|x|
x2 ·
√
x2 − 4
,
proto
h0(x) =
2
x ·
√
x2 − 4
pro x ∈ (−∞, 2), h0(x) =
−2
x ·
√
x2 − 4
pro x ∈ (2, ∞).
(Pozor na časté chybné odmocnění:
√
x2 = |x| a nikoli x.)
D(h0) = D(h),
znam h0(x)
-
x
& −
a
−2
a
2
& −
Lokální extrémy nenastanou.