M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

r2 =

4π

r2

¡

r3 − V

2π

¢

dostaneme stacionární bod r1 =

3

q

V

2π . Pro

S00(r1) platí

S00(r1) = 4π +

4V

r31

> 0 pro r1 > 0, V > 0.

Funkce S má tedy v bodě r1 =

3

q

V

2π ostré lokální minimum (viz 3. vlastnost pro

určování extrémů). Při této hodnotě r1 je povrch S minimální. Pro výšku h1 máme

h1 =

V

πr21

=

V

π 3

q

V 2

4π2

= 2

3

r

V

2π

= 2r1.

2.10

Funkce konvexní a konkávní

Zavedeme ještě pojem konvexnosti a konkávnosti, který nás bude u funkcí majících
derivaci informovat „o prohnutíÿ grafu funkce.

Chceme-li například nakreslit grafy funkcí určených předpisy f (x) = x3, g(x) = 3

√

x

v intervalu (0, ∞), pak zjistíme, že obě funkce jsou spojité a rostoucí. Jejich grafy se
však liší tím, že graf funkce f „leží nad tečnouÿ, kdežto graf funkce g „leží pod tečnouÿ
grafu funkce sestrojenou v libovolném bodě grafu příslušné funkce.

Definice 2.10.1: Má-li funkce f derivaci v bodě x0 ∈ R, pak řekneme, že f je
ryze konvexní v bodě x0, jestliže existuje okolí P(x0, δ) takové, že pro všechna
x ∈ P(x0, δ) platí f(x) > f(x0) + f0(x0)(x − x0), tj. graf funkce f leží v P(x0, δ)
nad tečnou sestrojenou v bodě [x0, f(x0)].

4

———————————————————————————————————

38

Derivace funkce

Obrázek 2.2:

√√

Komentář 2.10.1:

• Změníme-li nerovnici na opačnou, dostaneme definici ryzí konkávnosti

(tj. graf je pod tečnou).

• Připustíme-li neostré nerovnice, dostaneme definici konkávnosti event. kon-

vexnosti v bodě x0.

Pro ověření těchto vlastností máme k dispozici následující tvrzení.

Má-li funkce f v bodě x0 ∈ R druhou derivaci f00(x0), pak je-li f00(x0) > 0, je
f v bodě x0 ryze konvexní.

Je tomu tak proto, že v nějakém P(x0, δ) platí