M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

že

f (x) − f (x0)

x − x0

> 0.

Tato nerovnice bude splněna, pokud buď x − x0 > 0 a současně f(x) − f(x0) > 0
nebo x − x0 < 0 a současně f(x) − f(x0) < 0. Když x > x0, pak f(x) > f(x0) a
pro x < x0, je f(x) < f(x0). To ale znamená, že funkce f je rostoucí v bodě x0.

Rozšíříme uvedenou vlastnost na interval.

———————————————————————————————————

2.9 Extrémy funkce

35

Je-li funkce f spojitá na intervalu ha, bi a má-li v intervalu (a, b) derivaci,
která je kladná (záporná), pak je f rostoucí (klesající) na intervalu ha, bi.

Je-li totiž například f 0(x) > 0 na (a, b) a x1, x2 ∈ ha, bi, x1 < x2, pak podle
Lagrangeovy věty existuje c ∈ (x1, x2) tak, že f(x2) − f(x1) = f0(c)(x2 − x1) > 0
a odtud f (x2) > f(x1). Je tedy f rostoucí na intervalu ha, bi.

Nyní se dostáváme k definici lokálních extrémů.

Definice 2.9.2: Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ D(f) ostré lokální
minimum (ostré lokální maximum), jestliže existuje okolí P(x0, δ) ⊂ D(f)
tak, že pro všechna x ∈ P(x0, δ) platí f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0).)

4

√√

Komentář 2.9.1:

• Pokud platí neostrá nerovnice f (x) ≤ f (x0), hovoříme jen o lokálním ma-

ximu funkce.

-

x

6

y

a

x0

x1

x2 x3

x4

x5

b

Otázka: Co lze vyčíst z grafu funkce o extremálních hodnotách funkce f na základě

našich znalostí o derivacích?

• V bodech x0, x1, x2, x3 a x4 nastávají ostré lokální extrémy funkce. Všimněte si

toho, že tečny v bodech x0, x1, x4 jsou rovnoběžné s osou x, tj. f0(x0) = f0(x1) =
f 0(x4) = 0. Přitom je vidět, že extrémy nastávají i v bodech x2 a x3, v nichž
zřejmě derivace neexistují.