M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

Cvičení 2.8.1: Určete svislé asymptoty grafů funkcí

a) f : y =

x2

x2 + 2x

,

b) g : y = ln

2x + 1

x − 3

.

Vodorovné asymptoty grafu funkce

Analogicky např. z přibližných grafů

- x

6

y

0

ex

-x

6

y

π/2

−π/2

0

arctg x

funkcí ex, arctg x víme, že limx→−∞ ex = 0, limx→∞ arctg x = π

2 . Vidíme,

že tentokrát dostáváme konečné limity v nevlastních číslech. Graficky můžeme
tuto situaci znázornit tak, že například pro funkci arctg se graf funkce opět „ne-
omezeně blížíÿ ke grafu přímky o rovnici y = π/2, kterou nazýváme vodorovnou
(horizontální) asymptotou grafu funkce f : y = arctg x.

———————————————————————————————————

30

Derivace funkce

Definice 2.8.2: Přímku o rovnici y = d, d ∈ R, nazveme vodorovnou
(horizontální) asymptotou grafu funkce f v bodě ∞ (event. v −∞), jestliže

lim

x→∞

f (x) = d, (event. lim

x→−∞

f (x) = d).

4

Příklad 2.8.2: Určete vodorovné asymptoty (existují-li) grafů funkcí

a) f : y =

3x − 1
2x + 5

,

b) g : y = 2 − 3e2x.

Řešení:
a) Z teorie limit víme, že

lim

x→±∞

3x − 1
2x + 5

=

3
2

.

Přímka o rovnici y = 3/2 je tedy vodorovnou asymptotou grafu funkce f v bodě
∞ i v bodě −∞.

b) limx→∞ g(x) = −∞ a proto graf funkce g nemá v bodě ∞ vodorovnou

asymptotu. Pro bod −∞ dostáváme limx→−∞(2 − 3e2x) = 2 a proto přímka
y = 2 je horizontální asymptotou grafu funkce g v bodě −∞.

Cvičení 2.8.2: Určete vodorovné asymptoty (existují-li) grafů funkcí

a) f : y =

3x2

2x(3x − 1)

,

b) g : y = arctg

√

3x

2 − x

.

Šikmé asymptoty grafu funkce

Může se však stát, že například limita funkce f v nevlastním bodě ∞ (nebo −∞)
je nevlastní, ale přitom existuje přímka o rovnici y = ax + b, a 6= 0, a, b ∈ R, k
níž se opět graf funkce „neomezeně blížíÿ v nějakém prstencovém okolí některého
z nevlastních bodů. Pak říkáme, že lineární funkce g : y = ax + b je šikmou
asymptotou grafu funkce f v příslušném nevlastním bodě.