M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

Cvičení 2.8.4: Určete šikmé asymptoty (existují-li) grafů funkcí

a) f : y =

2x3 + 3x2

3x2 − 1

,

b) f : y =

√

x2 − 1,

c) f : y = x ln

2x

x + 1

.

2.9

Extrémy funkce

V mnoha praktických úlohách je zapotřebí zjišťovat extremální hodnoty přísluš-
ných funkčních závislostí. Tato problematika je elementárním základem tzv. op-
timalizačních úloh, které hrají důležitou roli v aplikacích matematiky při řešení
různých praktických problémů.

Cíl: Zvládnout problematiku určování extrémů funkcí, kterou budeme použí-

vat při vyšetřování průběhů funkcí.

Potřebné znalosti: Umět dobře derivovat a určovat znaménka funkcí, znát

definici derivace a Lagrangeovu větu.

Nejprve si popíšeme vlastnost „funkce rostoucí v boděÿ.

———————————————————————————————————

34

Derivace funkce

Definice 2.9.1: Řekneme, že funkce f je rostoucí v bodě x0, jestliže existuje
okolí U(x0) ⊂ D(f) takové, že

pro libovolné x1 < x0, x1 ∈ U(x0) je f(x1) < f(x0)
a pro libovolné x2 > x0, x2 ∈ U(x0) je f(x2) > f(x0).

4

Cvičení 2.9.1: Zformulujte si sami vlastnosti: klesající, neklesající, nerostoucí
funkce v bodě x0 a přiřaďte odpovídající názvy ke zbývajícím obrázkům.

-

x

6

y

funkce rostoucí

v bodě x0

-

x

6

y

-

x

6

y

©©

©

¡

¡¡

x0

x0

x0

-

x

6

y

@

@@

@@

x0

Tyto vlastnosti úzce souvisí s hodnotou derivace f 0(x0) (pokud existuje). Platí

následující důležité tvrzení, které budeme opakovaně využívat při zdůvodňování
dalších výsledků (cílem je mimo jiné: umět tvrzení „odvoditÿ).

Má-li funkce f v bodě x0 derivaci f0(x0) > 0, pak je funkce v bodě x0 rostoucí.

Je tomu tak proto, že z podmínky f 0(x0) > 0 dostaneme z definice deri-
vace, že limx→x

0

f (x)−f (x0)

x−x0

= f 0(x0) > 0. Existuje tedy okolí P(x0) takové,