M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

Příklad 2.9.1: Určete lokální extrémy funkcí

a) f (x) = x ln2 x, b) g(x) = arcsin

p

1 − x2.

Řešení:
a) Funkce f je definovaná v intervalu (0; ∞) a f 0(x) = ln2 x+2 ln x = (2+ln x)·ln x.

Pro stacionární body platí rovnice (2 + ln x) · ln x = 0 a tedy x1 = e−2 a x2 = 1.
Znaménko f 0(x) je

znam f 0(x)

-

x

a
0

% +

f roste

e−2

& −

f klesá

1

% +

f roste

Protože f 0(x) mění v x1 i x2 znaménko, má funkce f v bodech x1 a x2 lokální extrémy,
a to v x1 = e−2 ostré lokální maximum a v bodě x2 = 1 ostré lokální minimum.

b) Pro definiční obor funkce g platí postupně nerovnice 0 ≤

√

1 − x2 ≤ 1, 0 ≤

1 − x2 ≤ 1 a tedy x ∈< −1, 1 > . Derivace funkce g je rovna

g0(x) =

1

p

1 − (1 − x2)

·

−x

√

1 − x2

=

−x

√

x2 ·

√

1 − x2

=

−x

|x| ·

√

1 − x2

.

Odtud g0(x) = −1/

√

1 − x2 pro x ∈ (0, 1), g0(x) = 1/

√

1 − x2 pro x ∈ (−1, 0). Definiční

obor funkce g0 je (−1, 0) ∪ (0, 1) a pro znaménko g0(x) platí

———————————————————————————————————

2.10 Funkce konvexní a konkávní

37

znam g0(x)

-

x

a

−1

% +

a

0

& −

a

1

Funkce g je v bodě x = 0 definována a má v něm ostré lokální maximum (viz 2.
vlastnost pro určení extrémů).

Příklad 2.9.2: Určete poloměr r a výšku h rotačního válce, který má při zadaném
objemu V minimální povrch S.

Řešení: Protože známe objem válce V, můžeme vyjádřit ze vztahu V = πr2h výšku

h = V

πr2 . Povrch S je pak roven

S = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr

V

πr2

= 2πr2 +

2V

r

.

Nyní budeme hledat takové r, při kterém funkce S nabývá minimální hodnoty. Z de-
rivace S0(r) = 4πr − 2V