M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(x2 − 4)2
,
D(f 0) = D(f ). Na změnu znaménka budou mít vliv pouze reálné kořeny liché
násobnosti čitatele a jmenovatele, tj. kořeny x1 = −2
√
3 a x2 = 2
√
3.
znam f 0(x)
-
% +
a`
−2
√
3
& −
a
−2
& −
a
2
& −
a`
2
√
3
% +
(Při nevynesení bodů ±2 bychom mohli dojít k chybnému závěru, že funkce f klesá
v intervalu (−2
√
3, 2
√
3).
)
f má v bodě x1 = −2
√
3 ostré lokální maximum a v bodě x1 = 2
√
3 ostré
lokální minimum. Přitom f (−2
√
3) = −3
√
3, f (2
√
3) = 3
√
3.
3.
f 00(x) =
(4x3 − 24x) · (x2 − 4)2 − (x4 − 12x2) · 2 · (x2 − 4) · 2x
(x2 − 4)2
=
———————————————————————————————————
2.11 Průběh funkce
41
=
8x3 + 96x
(x2 − 4)3
=
8x · (x2 + 12)
(x2 − 4)3
,
D(f 00) = D(f 0) = D(f ), f 00(x) bude měnit znaménko v bodech −2, 0, 2,
-
znam f 00(x)
− _
pod
a
−2
+ ^
nad
a`
0
− _
pod
a
2
+ ^
nad tečnou
inflexní bod x3 = 0.
4. Protože D(f ) = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞), vyšetříme postupně (jedno-
stranné) limity v bodech −2, 2, −∞, ∞. Vzhledem k tomu, že v bodech −2, 2 jde
o limity typu
£
a
0
¤
, a ∈ R, a 6= 0, získáme ze znaménka f (x) tyto výsledky pro
jednostranné limity.
lim
x→−2−
x3
x2 − 4
= lim
x→−2−
f (x) = −∞,
lim
x→−2+
f (x) = ∞,
lim
x→2+
f (x) = −∞,
lim
x→2+
f (x) = ∞.
Přímky x = −2 a x = 2 jsou tedy svislé asymptoty grafu funkce f. V nevlastních
číslech −∞ a ∞ platí:
lim
x→∞
x3
x2 − 4
= lim
x→∞
x3
x2 · (1 − 4/x2)
= lim
x→∞
x = ∞ a lim
x→−∞
f (x) = −∞.
Pro šikmé asymptoty dostáváme:
a = lim
x→∞
f (x)
x
= lim
x→∞
x3
(x2 − 4) · x