M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
3.
h00(x) =
2
x2 · (x2 − 4)
·
µ
√
x2 − 4 +
x2
√
x2 − 4
¶
pro x ∈ (2, ∞),
proto
h00(x) =
4(2 − x2)
x2 ·
p
(x2 − 4)3
pro x ∈ (−∞, 2) a h00(x) =
4(x2 − 2)
x2 ·
p
(x2 − 4)3
pro x ∈ (2, ∞),
D(h00) = D(h0).
———————————————————————————————————
2.11 Průběh funkce
45
znam h00(x)
-
x
_ −
a
−2
a
2
^ +
Inflexní bod funkce h nemá.
4. Platí
lim
x→2+
arcsin
2
x
=
π
2
,
lim
x→2−
arcsin
2
x
= −
π
2
,
asymptoty svislé tedy nejsou. Dále
lim
x→±∞
arcsin
2
x
= arcsin 0 = 0
a přímka y = 0 je vodorovná asymptota (2.5).
5.
Obrázek 2.5:
Cvičení 2.11.1: Vyšetřete průběh funkce f .
1) f (x) = x
x2−1 .
2) f (x) = e
x
x+1 .
3) f (x) = 1−ln x
x
.
4) f (x) = arcsin 2x
1+x2 .
———————————————————————————————————
46
Derivace funkce
2.12
Kontrolní otázky
• Definujte derivaci funkce f v bodě x0. Vysvětlete její geometrický význam,
napište rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě [x0, f(x0)].
• Jaký je vztah mezi derivací f 0(x0) a spojitostí funkce f v bodě x0 ?
• Uveďte pravidla pro derivování součtu, součinu a podílu funkcí. Uveďte
pravidla pro derivování složené a inverzní funkce.
• Graficky znázorněte geometrický význam diferenciálu a uveďte vztah pro
jeho výpočet. K řešení jaké úlohy lze diferenciál použít?
• Pomocí obrázků vysvětlete význam základních vět o spojitých funkcích
(Cauchyova, Weierstrassova, Rolleova, Lagrangeova).
• Jak se definují derivace a diferenciály n–tého řádu?
• Co je to Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě x0? Jak se odvozují
jeho koeficienty? Zapište Lagrangeův tvar zbytku.
• Co je to Maclaurinův polynom?
• K čemu slouží l’Hospitalovo pravidlo? Co přesně pravidlo tvrdí? Jaká jsou