M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

1. Získáme o funkci f co nejvíce užitečných informací přímo ze zadání. V zá-

vislosti na druhu a složitosti funkčního předpisu určíme definiční obor, zna-
ménko f (x), sudost, lichost, periodičnost funkce, průsečíky grafu funkce se
souřadnicovými osami.

2. Vypočteme f 0, D(f 0), určíme znaménko f 0(x), intervaly monotonie, funkční

hodnoty v extremálních bodech.

3. Určíme f 00, D(f 00), znaménko f 00(x), konvexnost, konkávnost, inflexní body,

funkční hodnoty v inflexních bodech.

———————————————————————————————————

40

Derivace funkce

4. Pokud je definiční obor tvořen otevřenými intervaly, určíme (jednostranné)

limity funkce f v jejich krajních bodech (event. včetně nevlastních čísel
±∞). Nalezneme asymptoty grafu funkce.

5. Načrtneme graf zadané funkce.

——————————————————————————————————∆

Příklad 2.11.1: Vyšetřete průběhy funkcí

a) f (x) =

x3

x2 − 4

, b) g(x) = x2e−3/x, c) h(x) = arcsin

2

x

.

Řešení: První příklad vyřešíme s podrobnějším komentářem. U zbývajících

dvou příkladů budeme již stručnější.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a)

f (x) =

x3

x2 − 4

,

1. D(f ) = R − {−2, 2},

znam f (x)

-

x

−

a

−2

+

a`

0

−

a

2

+

f (0) = 0, f je lichá (neboť definiční obor je symetrický vzhledem k počátku
a platí f (−x) =

(−x)3

(−x)2−4 = −

x3

x2−4 = −f (x)).

2.

f 0(x) =

3x2 · (x2 − 4) − x3 · 2x

(x2 − 4)2

=

x4 − 12x2

(x2 − 4)2

=

x2 · (x2 − 12)