M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

f (x) − f (x0)

|

{z

}

f 0(c)(x − x0)

|

{z

}

dle Lagrangeovy věty

−f 0(x0)(x − x0) = (f0(c) − f0(x0))(x − x0) > 0

|

{z

}

f 0 je rostoucí v bodě x0

Je tedy f (x) > f (x0) + f0(x0)(x − x0) pro x ∈ P(x0, δ) a f je ryze kon-
vexní v bodě x0.

√√

Komentář 2.10.2:

• Má-li funkce na intervalu J ⊆ D(f ) derivaci druhého řádu f 00 a platí-li

f 00(x) > 0 na J, pak řekneme, že f je ryze konvexní na J.

• Jestliže v bodech dostatečně blízkých bodu x0 přechází graf z polohy

nad tečnou do polohy pod tečnou (nebo obráceně), nazveme bod x0
inflexním bodem.

———————————————————————————————————

2.11 Průběh funkce

39

-

x

6

y

-

x

6

y

©©

©©

©©

©©

©©

©©

©©

©©

©©

©©

x0

x0

Pro inflexní body platí:

1. Je-li x0 inflexní bod funkce f a existuje-li f00(x0), pak je f00(x0) = 0.

2. Má-li funkce f spojitou derivaci f 0 na U(x0, δ) a platí-li f00(x0) < 0 pro

x ∈ P−(x0, δ) a f00(x0) > 0 pro x ∈ P+(x0, δ) nebo naopak, pak je x0
inflexní bod funkce f.

3. Je-li f 00(x0) = 0 a f000(x0) 6= 0, pak je x0 inflexní bod funkce f.

Tvrzení (3) opět plyne z toho, že například pro f 000(x0) > 0, je f00 ros-
toucí funkcí v bodě x0. Odtud pro x ∈ P−(x0, δ) je f00(x) < f00(x0) = 0 a pro
x ∈ P+(x0, δ) je f00(x) > f00(x0) = 0. Tedy x0 je inflexní bod.

2.11

Průběh funkce

Cíl: Užitím diferenciálního počtu umět vyjádřit průběhy a nakreslit grafy funkcí.
O složitosti a tvarech těchto funkcí získáte nejlépe představu ze skript Sbírka
příkladů z matematiky I - kapitola Průběh funkce.

∆——————————————————————————————————