M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
lim
x→∞
f (x)
x
= lim
x→∞
x2
x(2x − 1)
=
1
2
= a.
Dále
lim
x→∞
(f (x) − ax) = lim
x→∞
µ
x2
2x − 1
−
x
2
¶
= [∞ − ∞] =
= lim
x→∞
2x2 − 2x2 + x
4x − 2
= lim
x→∞
x
4x − 2
=
1
4
.
Přímka o rovnici y = 1
2 x +
1
4 je tedy šikmou asymptotou grafu funkce f : y =
x2
2x−1
v bodě ∞. Z rozboru počítaných limit zjistíme, že pro nevlastní bod −∞ obdržíme
stejné výsledky jako pro bod ∞. Přímka
y =
1
2
x +
1
4
je proto šikmou asymptotou grafu funkce f v bodech ±∞.
b) Nyní již uvedeme stručnější výpočty:
lim
x→−∞
f (x)
x
= lim
x→−∞
x2 +
√
x2 − 1
x2
= lim
x→−∞
µ
1 +
√
x2 − 1
x2
¶
=
= lim
x→−∞
Ã
1 +
r
1
x2
−
1
x4
!
= 1 = a,
lim
x→−∞
(f (x) − ax) = lim
x→−∞
µ
x +
√
x2 − 1
x
− x
¶
= lim
x→−∞
√
x2 − 1
x
=
·
∞
−∞
¸
=!!
!! = − lim
x→−∞
r
x2 − 1
x2
= − lim
x→−∞
r
1 −
1
x2
= −1.
Přímka y = x − 1 je asymptotou grafu funkce f v bodě −∞.
———————————————————————————————————
2.9 Extrémy funkce
33
Komentáře:
1. Jsou časté pokusy řešit limitu limx→−∞
√
x2−1
x
užitím l’Hospitalova pra-
vidla. Zkuste si sami ověřit, že tento postup nevede k úspěšnému výpočtu.
2. Rovnost limx→−∞
√
x2−1
x
= − limx→−∞
q
x2−1
x2
při výpočtu limity je
dána skutečností, že
√
x2 = |x| = −x pro x < 0.
Jako cvičení vypočtěte šikmou asymptotu funkce f (x) = x
2+
√
x2−1
x
v bodě
∞.
c) Protože limx→−∞ f(x) = limx→−∞ e
x
x = 0, má funkce f v bodě −∞ vodo-
rovnou asymptotu y = 0 jako speciální případ y = 0x + 0 asymptoty šikmé.
V nevlastním bodě ∞ dostáváme
lim
x→∞
f (x) = lim
x→∞
ex
x
=
h∞
∞
i
LP
= lim
x→∞
ex
2x
LP
= lim
x→∞
ex
2
= ∞.
Odtud plyne, že v bodě ∞ nemá funkce šikmou asymptotu (neboť konstanty
a, b ∈ R musí být konečná reálná čísla).