M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
|x|2n+2
(2n + 2)!
.
Cvičení 2.6.2: Ověřte, že platí
a)
cos x =
n
X
k=0
(−1)kx2k
(2k)!
+ R2n(x), kde R2n(x) =
(−1)n+1 · sin ξ · x2n+1
(2n + 1)!
b)
ex =
n
X
k=0
xk
k!
+ Rn(x), kde Rn(x) =
eξ · xn+1
(n + 1)!
.
Cvičení 2.6.3: Určete Taylorův (Maclaurinův) polynom funkce f v bodě x0
stupně n, je-li:
a)
f (x) =
√
x + 1, x0 = 0, n = 3,
b)
f (x) = x · arctg x, x0 = 1, n = 2,
c)
f (x) = xex, x0 = 0, n ∈ N.
2.7
L’Hospitalovo pravidlo
Při dosavadních výpočtech limit podílu funkcí
lim
x→x0
f (x)
g(x)
, kde lim
x→x0
f (x) = 0, lim
x→x0
g(x) = 0
———————————————————————————————————
2.7 L’Hospitalovo pravidlo
25
jsme využívali různých úprav (krácení, rozšiřování zlomků apod.) pro zjednodušení
podílu funkcí
f (x)
g(x) . Při výpočtu limit
lim
x→0
sin x
x
, lim
x→0
ex − 1
x
, lim
x→1
ln x
x − 1
nám však tyto úpravy nepomohou. Přitom jde o limity výše uvedeného typu, kde ve
všech třech podílech je f (x0) = 0, g(x0) = 0 a přitom existují derivace f0(x0), g0(x0) a
g0(x0) 6= 0. Pak ale platí
lim
x→x0
f (x)
g(x)
= lim
x→x0
f (x)
x−x0
g(x)
x−x0
= lim
x→x0
f (x)−f (x0)
x−x0
g(x)−g(x0)
x−x0
=
limx→x
0
f (x)−f (x0)
x−x0
limx→x
0
g(x)−g(x0)
x−x0
=
f 0(x0)
g0(x0)
.
Vidíme tedy, že se nám podařilo využít derivace funkcí f, g pro zjednodušení výpočtu
zadané limity, například
lim
x→1
ln x
x − 1
=
·
0
0
¸
=
f 0(1)
g0(1)
= 1.
Cvičení 2.7.1: Vypočtěte uvedeným způsobem zbývající dvě limity
lim
x→0
sin x
x
, lim
x→0
ex − 1
x
.
Naše úvahy o využití derivací funkcí f a g pro výpočet limit podílu funkcí
f /g se dají zobecnit následovně:
Věta (L’Hospitalovo pravidlo ): Mají-li funkce f a g v prstencovém okolí bodu
x0 ∈ R konečné derivace a platí-li navíc
limx→x