M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

———————————————————————————————————

2.5 Diferenciály vyšších řádů

19

Analogicky

f 00(x) = (3 cos 3x)0 = −9 sin 3x, D(f 00) = D(f 0),

f 000(x) = (−9 sin 3x)0 = −27 cos 3x, D(f 000) = D(f 00),

f (4)(x) = (−27 cos 3x)0 = 81 sin 3x, D(f (4)) = D(f 000) = R.

Cvičení 2.4.1: Vypočítejte druhou derivaci funkce f a výsledek upravte. Na-
jděte obory D(f ), D(f 00).

1) f (x) = ln

1

x+

√

x2−1

2) f (x) = arctg (x −

√

x2 + 1)

3) f (x) = x · (−1 + ln x)

4) f (x) = x

√

x2 + 3

2.5

Diferenciály vyšších řádů

Má-li funkce f v bodě x0 (vlastní) derivaci f(n)(x0), pak funkci g, pro kterou platí

g(h) = f (n)(x0) · hn, h ∈ R,

nazýváme diferenciálem n–tého řádu funkce f v bodě x0 nebo stručněji n–tým
diferenciálem funkce f v bodě x0. Hodnotu g(h) značíme d

nf(x0, h) a platí tedy

dnf (x0, h) = f(n)(x0) · hn, h ∈ R.

Definice 2.5.1: Existuje-li (vlastní) n–tá derivace f (n) na množině M ⊂ D(f ),
pak je na množině M × R definovaná funkce dvou proměnných x a h, kde x ∈ M,
h ∈ R, kterou nazýváme diferenciálem n–tého řádu funkce f (nebo též n–tým
diferenciálem funkce f ). Označujeme jej

dnf (x, h) = f (n)(x) · hn, x ∈ M, h ∈ R.

Při pevně zvoleném h pak píšeme jen dnf (x0).

4

Poznámka: Pokud budeme při výpočtech diferenciálů vyšších řádů (n ≥ 2) uvažo-

vat tentýž konstantní přírůstek h nezávisle proměnné x, pak můžeme diferenciál n–tého
řádu (za předpokladu existence vlastních derivací funkce f v bodě x až do řádu n) vy-
jádřit rekurentně vztahem

dnf (x, h) = d

¡

dn−1f (x, h)

¢

.

———————————————————————————————————