M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

4. Zvolíme si opět interval < 0, 2 >, pak pro funkci f (x) = 4x2 − 4x − 3

existuje f 0(x) = 8x − 4 a dle Lagrangeovy věty existuje bod c ∈ (0, 2) tak,
že
f (2) − f (0) = f 0(c) · (2 − 0), tj. f 0(c) =

f (2)−f (0)

2

= 4. Odtud 8c − 4 = 4,

tedy c = 1 (viz Obr. 2.1 vlevo).

———————————————————————————————————

18

Derivace funkce

Obrázek 2.1:

2.4

Derivace vyšších řádů

Má-li funkce f s definičním oborem D(f ) konečnou derivaci f 0(x) pro každé x
z množiny M ⊂ D(f ), pak pro vnitřní bod x0 ∈ M má smysl se ptát, zda funkce
f 0 má v bodě x0 derivaci, tj. zda existuje

lim

x→x0

f 0(x) − f 0(x0)

x − x0

.

Pokud existuje, pak ji nazveme derivací 2. řádu (druhou derivací) funkce f
v bodě x0 a označíme ji f00(x0). Analogicky můžeme zavést f000 jako derivaci z
funkce f 00. Obecně pak pro n ∈ N dostáváme
∆——————————————————————————————————

f (n)(x0) =

¡

f (n−1)

¢0

(x0) = lim

x→x0

f (n−1)(x) − f (n−1)(x0)

x − x0

.

——————————————————————————————————∆

Je jasné, že k existenci derivace n–tého řádu je nutná existence neje-
nom (n − 1)–ní derivace funkce f, ale i všech předchozích derivací. Aby tato
definice byla smysluplná i pro n = 1, budeme funkci f označovat za nultou
derivaci funkce f. Píšeme f (0) = f.

Příklad 2.4.1: Vypočítejte čtvrtou derivaci funkce f : y = sin 3x.

Řešení: Funkce f (x) = sin 3x má přirozený definiční obor D(f ) = R. Pro

každé x ∈ D(f ) existuje

f 0(x) = (sin 3x)0 = cos 3x · (3x)0 = 3 cos 3x, D(f 0) = D(f ).