M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
y0 =
¡
(arctg (2x + 1))−1
¢0
= (−1) · (arctg (2x + 1))−2 ·
1
1 + (2x + 1)2
· 2 =
= −
1
(2x2 + 2x + 1) · arctg 2(2x + 1)
.
Cvičení 2.1.4: Zadané funkce derivujte a výsledek upravte. Určete D(f )
a obor, na kterém existuje derivace.
1) 2−3x
2
√
π
2) 2x
3
√
x +
x
2 3
√
x
3) sin x
1−cos x + tg π
4) x ln x
1−x
5) 2 arcsin
p
x
2 −
√
2x − x2
6) − x+6
2
√
5 + 4x − x2 + 17
2 arcsin
x−2
3
7) 1
4 ln
1+x+x2
1−x+x2 +
√
3
6
arctg x
√
3
1−x2
8) − cos x
2 sin2 x + ln
q
1+cos x
sin x
9)
1
ln2(x2+1)
2.2
Diferenciál funkce
Předpokládejme, že funkce f má v bodě x0 vlastní derivaci f0(x0). Pak platí
limx→x
0
f (x)−f (x0)
x−x0
= f 0(x0) a tedy pro libovolné ε > 0 existuje okolí P(x0, δ)
takové, že
¯
¯
¯
f (x)−f (x0)
x−x0
− f 0(x0)
¯
¯
¯ < ε, tj. můžeme psát f 0(x0)
.
=
f (x)−f (x0)
x−x0
v P(x0, δ)
a tedy
f (x)
.
= f (x0) + f0(x0)(x − x0).
Všimněme si geometrického významu této přibližné rovnosti. Víme, že rovnice
tečny ke grafu funkce f v bodě P0 = [x0, f(x0)] má tvar
t : y − f (x0) = f0(x0)(x − x0).
Odtud vyplývá, že jsme přírůstek funkčních hodnot f (x) − f (x0) nahradili
přírůstkem f 0(x0)(x − x0) na tečně t .
———————————————————————————————————
2.2 Diferenciál funkce
15
- x
6
y
- x
6
y
P0
P
6
?
f (x) − f (x0)
P0
P
?
6
f 0(x0)(x − x0)
t
T
f (x) − f (x0)
|
{z
}
přírůstek funkčních hodnot
|
{z
}
rozdíl f (P ) − f (P0)
.
=
f 0(x0)(x − x0)
|
{z
}
přírůstek funkčních hodnot na tečně
|
{z
}
rozdíl f (T ) − f (P0)
= f 0(x0)h
Tyto úvahy nás vedou k definici
Definice 2.2.1: Má-li funkce f v bodě x0 derivaci, pak výraz
df (x0, h) = f0(x0)h
nazýváme diferenciálem funkce f v bodě x0 pro přírůstek h nezávisle pro-
měnné x.