M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2.1 Derivace funkce
9
(Promyslete si tvar rovnic tečny a normály ke grafu funkce f v případě, kdy
je f 0(x0) = 0.)
Nyní si uvedeme ukázky výpočtů derivací funkcí z definice.
Příklad 2.1.1: Odvoďte z definice derivaci f 0(x0) funkce
a) f (x) =
√
x, x0 ∈ (0, ∞), b) f(x) = sin x, x0 ∈ R.
Řešení:
a) f 0(x0) = lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= lim
x→x0
√
x −
√
x
0
x − x0
= lim
x→x0
√
x −
√
x
0
(
√
x −
√
x
0)(
√
x +
√
x
0)
=
= lim
x→x0
1
√
x +
√
x
0
=
1
2
√
x
0
,
b) f 0(x0) = lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= lim
x→x0
sin x − sin x0
x − x0
= lim
x→x0
2 sin x−x0
2
cos x+x0
2
x − x0
=
= lim
x→x0
sin x−x0
2
x−x0
2
· lim
x→x0
cos
x + x0
2
= cos x0.
Cvičení 2.1.1: Odvoďte z definice derivaci f 0(x0) funkce
a) f (x) = x3, b) f (x) = 3
√
x, x0 ∈ R.
Z definice derivace vyplývají tyto vlastnosti:
1. Funkce f má v bodě x0 derivaci právě tehdy, když má v tomto bodě
derivaci zprava i zleva a platí f 0
+(x0) = f
0
−(x0).
2. Má-li funkce f v bodě x0 vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá.
První vlastnost vyplývá z analogické vlastnosti limit. Druhá vlastnost se
často využívá a proto si ukážeme, jak se dá odvodit. Z existence vlastní derivace
plyne, že limx→x
0
f (x)−f (x0)
x−x0
= f 0(x0) ∈ R. Odtud
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
µ
f (x) − f (x0)
x − x0
(x − x0) + f(x0)
¶
=
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
· lim
x→x0
(x − x0) + lim
x→x0
f (x0) = f0(x0) · 0 + f(x0) = f(x0),
a tedy funkce f je spojitá v bodě x0.
———————————————————————————————————
10
Derivace funkce
Poznámka. Tvrzení 2. nelze obrátit. Funkce spojitá v bodě x0 ∈ R
nemusí mít derivaci, jak ukazuje následující příklad:
Funkce f : y = |x| je spojitá v bodě x0 = 0, ale derivaci v tomto
bodě nemá, neboť f 0