M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

=

1

√

1 − x2

, x ∈ (−1, 1).

Prověřte si, že jsou splněny všechny předpoklady pravidla C.

Poznámka: Uvedená pravidla pro derivování se dají zobecnit. Mají-li funkce

f1, f2, . . . , fn derivaci v bodě x0 ∈ R a jsou-li c1, c2, . . . , cn ∈ R, pak platí

A2’ (c1f1 + · · · cnfn)0(x0) = c1f01(x0) + · · · cnf0n(x0),

A3’ (f1 · f2 · . . . · fn)0(x0) = f01(x0) · f2(x0) · . . . · fn(x0)+

+f1(x0) · f02(x0) · . . . · fn(x0) + · · · + f1(x0) · f2(x0) · . . . · f0n(x0).

B’ (f3 ◦ f2 ◦ f1)0(x0) = f03(v0) · f02(u0) · f01(x0), kde u0 = f1(x0), v0 = f2(u0).

———————————————————————————————————

12

Derivace funkce

2.1.3

Tabulka derivací elementárních funkcí

f (x)

f 0(x)

podmínky platnosti

c

0

x ∈ R, c ∈ R

xn

n · xn−1

x ∈ R, n ∈ N

x−n

−n · x−n−1 x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞), n ∈ N

xk

k · xk−1

x ∈ (0, ∞), k ∈ R

ex

ex

x ∈ R

ax

ax · ln a

x ∈ R, a > 0

ln x

1/x

x ∈ (0, ∞)

logax

1

x·ln a

x ∈ (0, ∞), a > 0, a 6= 1

sin x

cos x

x ∈ R

cos x

− sin x

x ∈ R

tg x

1

cos2 x

x ∈ R − {(2k + 1)π

2 ; k ∈ Z}

cotg x

− 1

sin2 x

x ∈ R − {kπ; k ∈ Z}

arcsin x

1

√

1−x2

x ∈ (−1, 1)

arccos x

− 1

√

1−x2

x ∈ (−1, 1)

arctg x

1

1+x2

x ∈ R

arccotg x − 1

1+x2

x ∈ R

sinh x

cosh x

x ∈ R

cosh x

sinh x

x ∈ R

tgh x

1

cosh2 x

x ∈ R

cotgh x

− 1

sinh2 x

x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

———————————————————————————————————

2.1 Derivace funkce

13

Pro ilustraci derivování uvedeme několik řešených příkladů. Při řešení budeme