M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

-

x

6

y

a

b

m

M

M = max {f (x); x ∈< a, b >}

m = min {f (x); x ∈< a, b >}

3. Rolleova věta:

Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b > a má-li derivaci v intervalu
(a, b), přičemž f (a) = f (b), pak existuje c ∈ (a, b) tak, že f 0(c) = 0.

———————————————————————————————————

2.3 Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu

17

-

x

6

y

a

b

c

f (a) = f (b)

Tečna grafu v bodě c je rovnoběžná s osou x.

4. Lagrangeova věta o přírůstku funkce:

Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b > a má-li derivaci v intervalu
(a, b), pak existuje c ∈ (a, b) tak, že f (b) − f (a) = f 0(c) · (b − a).

-

x

6

y

a

b

³³

³³

³³

³³

³³

³

³³

³

³³

³

c1

c2

Tečna grafu v bodě c ∈ {c1, c2} je rovnoběžná se spojnicí bodů
[a, f (a)], [b, f (b)].

√√

Komentář 2.3.1: Místo teoretického zdůvodňování platnosti jednotlivých

tvrzení si pouze ukážeme jejich interpretaci na konkrétní funkci. Mějme funkci
f (x) = 4x2 − 4x − 3, x ∈< 0, 2 > .

1. Protože f je spojitá na intervalu < 0, 2 > a přitom f (0) = −3, f (2) = 5,

tj f (0) · f (2) < 0, existuje číslo c ∈ (0, 2) takové, že f (c) = 0. Je to kořen
c = 3/2 (viz Obr. 2.1 vlevo).

2. Funkce f nabývá v intervalu < 0, 2 > své největší hodnoty M = f (2) = 5

a nejmenší hodnoty m = f (1/2) = −4 (viz Obr. 2.1 vlevo).

3. Uvažujme nyní funkci f (x) = 4x2 − 4x − 3 v intervalu x ∈< −1, 2 > .

Pak jsou splněny předpoklady Rolleovy věty včetně rovnosti f (−1) = f (2).
Existuje tedy alespoň jeden bod c takový, že f 0(c) = 0. Jde o bod c = 1/2
(viz Obr. 2.1 vpravo).