M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Je jasné, že polynomy se sobě rovnají, neboť f (5)(x) = 0 a tedy zbytek je nulový.
O rovnosti polynomů se můžete snadno přesvědčit úpravou nalezeného Taylorova
polynomu na tvar zadané funkce f.
Příklad 2.6.3: Určete Taylorův polynom n–tého stupně funkce
f (x) = ln (2 − 3x) v bodě x0 = −1.
Řešení:
f (x) = ln (2 − 3x), f 0(x) = −
3
2 − 3x
, f 00(x) = −
32
(2 − 3x)2
, f 000(x) = −
33 · 2
(2 − 3x)3
,
f (4)(x) = −
34 · 3 · 2
(2 − 3x)4
, f (5)(x) = −
35 · 4 · 3 · 2
(2 − 3x)5
, . . . , f (n)(x) = −
3n · (n − 1)!
(2 − 3x)n
,
proto
f (−1) = ln 5, f 0(−1) = −
3
5
, f 00(−1) = −
µ
3
5
¶2
, . . . , f (n)(−1) = −
µ
3
5
¶n
·(n−1)!.
Odtud
Tn(f, −1, x+1) = ln 5−
n
X
k=1
µ
3
5
¶k
·
(k − 1)!
k!
·(x+1)k = ln 5−
n
X
k=1
µ
3
5
¶k
1
k
(x+1)k.
Důkladně si tento příklad propočítejte a promyslete. Můžete se na
něm hodně naučit. Všimněte si toho, že není vhodné při výpočtu de-
rivací konstanty roznásobovat, nýbrž naopak, je zapotřebí je vyjádřit
v takovém tvaru, který nám umožní popsat obecně derivaci n–tého
řádu.
———————————————————————————————————
24
Derivace funkce
Příklad 2.6.4: Určete Maclaurinův polynom n–tého stupně funkce
f (x) = sin x.
Řešení:
f (x) = sin x, f 0(x) = cos x, f 00(x) = − sin x, f 000(x) = − cos x, f (4)(x) = sin x,
f (5)(x) = cos x
a derivace se opakují,
f (0) = 0, f 0(0) = 1, f 00(0) = 0, f 000(x) = −1, f (4)(0) = 0, f (5)(0) = 1, . . . .
Tedy
sin x =
n
X
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!
+ R2n+1(x),
R2n+1(x) =
(−1)n+1 · sin ξ · x2n+2
(2n + 2)!
, odtud |R2n+1(x)| ≤