M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

lim

x→0+

1

x

= ∞, lim

x→ π

2 −

tg x = ∞, lim

x→π−

cotg x = −∞.

Uvedené funkce mají v příslušných prstencových okolích následující přibližné
grafy:

-x

6

y

0

1

x

-

x

6

y

0

π

2

-

x

6

y

π

π

2

0

Všimněme si, že například existence nevlastní levostranné limity funkce tg v

bodě π/2, tj. limx→π

2 −

tg x = ∞, vlastně mj. znamená, že funkce tg je v P−(π/2)

neohraničená a že graf funkce tg se „neomezeně blížíÿ ke grafu přímky o rovnici
x = π/2. Tuto přímku nazveme svislou (vertikální) asymptotou grafu funkce
f : y = tg x. Odtud se dostáváme k definici:

Definice 2.8.1: Přímku o rovnici x = x0, x0 ∈ R, nazveme svislou asymptotou
grafu funkce f v bodě x0, jestliže f má v bodě x0 alespoň jednu jednostrannou
limitu

lim

x→x0+

f (x),

lim

x→x0−

f (x)

nevlastní.

4

Příklad 2.8.1: Určete svislé asymptoty grafů funkcí

a) f : y =

x

x − 1

,

b) g : y = xe1/x

2 .

Řešení:
a) Funkce f není definována v bodě x0 = 1. Na základě znaménka funkce f

a věty o limitě typu „a/0ÿ, a 6= 0, dostáváme

-

`a

0

b

1

+

−

+

znam f (x)

———————————————————————————————————

2.8 Asymptoty grafu funkce

29

a existují dokonce obě limity limx→x

1+ f (x) = +∞, limx→x1− f (x) = −∞ ne-

vlastní. Přímka x = 1 je tedy svislou asymptotou grafu funkce f v bodě 1.

b) Funkce g není definována v bodě x0 = 0. Je jasné, že limx→0 1

x2 = ∞

a limx→0 e1/x

2 = ∞. Dostáváme tedy limitu typu 0 · ∞, což je neurčitý výraz.

Upravíme proto zadanou funkci na tvar

e

1

x2

1
x

a odtud

lim

x→0+

e

1

x2

1
x

=

h∞

∞

i

LP

= lim

x→0+

− 2

x3 e

1

x2

− 1

x2

= lim

x→0+

2e

1

x2

x

= ∞,

lim

x→0−

e

1

x2

1

x

=

·

∞

−∞

¸

LP

= lim

x→0−

2e

1

x2

x

= −∞.

Přímka o rovnici x = 0 je svislou asymptotou grafu funkce g v bodě 0.