M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

• Je třeba si uvědomit, že také v bodě x5 je tečna rovnoběžná s osou x, tj. f0(x5) =

0, i když v tomto bodě extrém nenastává. Graf funkce se v bodech x4 a x5 liší
například tím, že existují okolí těchto bodů taková, že v okolí bodu x4 funkce
„nejprve klesá a pak rosteÿ (derivace funkce mění znaménko), kdežto v okolí
bodu x5 funkce „stále rosteÿ (derivace funkce nemění znaménko)

• Z příkladu je vidět, že funkce může mít lokální extrémy

a) v bodech, v nichž f 0(x) = 0,
b) v bodech, v nichž f nemá derivaci.

———————————————————————————————————

36

Derivace funkce

• Body, v nichž f 0(x) = 0, se nazývají stacionární.

Pro hledání extrémů platí tato důležitá tvrzení:

1. Má-li funkce f v bodě x0 ∈ R lokální extrém, pak je buď f0(x0) = 0 nebo f0(x0)

neexistuje.

2. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ R a existuje-li okolí P(x0, δ) tak, že f je

v P−(x0, δ) rostoucí (klesající) a v P+(x0, δ) klesající (rostoucí), pak f má v
bodě x0 ostré lokální maximum (minimum).

3. Je-li f 0(x0) = 0 a má-li funkce funkce f v bodě x0 druhou derivaci

f 00(x0) 6= 0, pak má f v bodě x0 ostrý lokální extrém a to
minimum v případě f 00(x0) > 0, maximum v případě f00(x0) < 0.

Tvrzení (1) je tzv. nutná podmínka existence lokálního extrému, tvrzení (2), (3)
jsou tzv. postačující podmínky pro existenci lokálního extrému.. První dvě tvrzení
zcela odpovídají našim geometrickým představám (viz rozbor grafu). Pokud jde o třetí
tvrzení, to plyne z toho, že z existence f 0(x0) plyne spojitost funkce v bodě x0 a je-li
například f 00(x0) > 0, pak je funkce f0 rostoucí v bodě x0. To ale znamená, že existuje
okolí P(x0, δ) takové, že pro x ∈ P−(x0, δ) platí f0(x) < f0(x0) = 0 a pro x ∈ P+(x0, δ)
je f 0(x) > f 0(x0) = 0. Odtud plyne, že f má v bodě x0 ostré lokální minimum.