M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
———————————————————————————————————
2.8 Asymptoty grafu funkce
31
- x
6
y
0
-x
6
y
©©
©©
©©
©©
©©
©©
©©
©
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
H
y = f (x)
y = ax + b
Definice 2.8.3: Lineární funkci g : y = ax + b, a 6= 0, a, b ∈ R, nazveme
šikmou asymptotou grafu funkce f v bodě ∞, jestliže
lim
x→∞
(f (x) − (ax + b)) = 0.
4
Cvičení 2.8.3: Definujte šikmou asymptotu grafu funkce f v bodě −∞.
√√
Komentář 2.8.1: V rovnici šikmé asymptoty se vyskytují dvě neznámé
konstanty. Ukažme si, jak je můžeme vypočítat. Je-li g asymptotou grafu funkce
f, pak podle definice platí limx→∞(f(x) − (ax + b)) = 0. Protože limx→∞ 1
x = 0,
pak limx→∞(f(x) − (ax + b)) 1
x = 0. Odtud dostáváme limx→∞(
f (x)
x
− a − b
x )) = 0
a tedy
lim
x→∞
f (x)
x
= a.
Ze vztahu limx→∞(f(x) − (ax + b)) = 0 dále plyne, že
b = lim
x→∞
(f (x) − ax).
Obráceně, jestliže limx→∞
f (x)
x
=
a, b
=
limx→∞(f(x) − ax), pak
limx→∞(f(x) − ax − b) = 0 a tedy funkce g : y = ax + b je šikmou asymptotou
grafu funkce f v bodě ∞.
Platí tedy následující tvrzení.
Věta: Funkce g : y = ax + b, a 6= 0, a, b ∈ R, je šikmou asymptotou grafu
funkce f v bodě ∞, právě tehdy, když platí
a = lim
x→∞
f (x)
x
, b = lim
x→∞
(f (x) − ax).
———————————————————————————————————
32
Derivace funkce
Příklad 2.8.3: Určete šikmé asymptoty (existují-li) ke grafům funkcí
a) f : y =
x2
2x − 1
, b) f : y =
x2 +
√
x2 − 1
x
, c) f : y =
ex
x
.
Řešení:
a) Protože máme najít (pokud existují) šikmé asymptoty, budeme se zabývat
chováním funkce v okolích nevlastních bodů ∞ nebo −∞. Funkce je v okolích
těchto bodů definovaná a má tedy smysl počítat výše uvedené limity. Dostaneme