M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0 , kde k 6= 0, k ∈ R. Výsledky jsou pak zcela
chybné, jak se o tom můžete přesvědčit na jednostranné limitě limx→0
+
1
x ,
kdy nesprávným použitím pravidla dostaneme limitu rovnou nule. Správný
výsledek je ovšem ∞.
———————————————————————————————————
2.8 Asymptoty grafu funkce
27
• Někdy jsou splněny předpoklady pro použití l’Hospitalova pravidla, ale po-
kus o jeho použití nevede k cíli. Například
lim
x→∞
√
x2 − 1
x
=
h∞
∞
i
= lim
x→∞
x
√
x2−1
1
=
h∞
∞
i
= lim
x→∞
1
x
√
x2−1
= lim
x→∞
√
x2 − 1
x
.
• Dokonce se může stát, že limx→x
0
f 0(x)
g0(x) neexistuje a přitom limx→x0
f (x)
g(x)
existuje, například pro limx→∞ 2x+5 sin x
3x+4 cos x
typu ∞
∞
je limx→∞
f 0(x)
g0(x)
=
limx→∞ 2+5 cos x
3−4 sin x a limity čitatele a jmenovatele neexistují. Platí však
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= lim
x→∞
2x + 5 sin x
3x + 4 cos x
= lim
x→∞
2 + 5sin x
x
3 + 4cos x
x
=
2
3
.
• V některých případech vede použití l’Hospitalova pravidla k limitám složi-
tějších funkcí, jak ukazuje příklad
lim
x→0+
e−1/x
2
x
=
·
0
0
¸
= lim
x→0+
2e−1/x
2
x3
.
Cvičení 2.7.3: Užitím l’Hospitalova pravidla najděte limity:
1)
limx→0
x−
arctgx
x3
2)
limx→1 x−1
ln x
3)
limx→0 e
x2 −1
cos x−1
4)
limx→∞
ln (2+x)
42x−3
2.8
Asymptoty grafu funkce
Pro zakreslení grafů funkcí je užitečné získat bližší informace o chování zadaných
funkcí v prstencových okolích „problémových bodůÿ, k nimž zejména patří
1. body x0, pro které je funkce definována alespoň v jejich jednostranném
prstencovém okolí a je přitom v tomto okolí neohraničená.
-x
6
y
a
l
`a
k
x0
f
-x
6
y
x0
-
x
6
y
x0
h
2. body nevlastní ∞ a −∞.
———————————————————————————————————
28
Derivace funkce
Svislé asymptoty grafu funkce
Z kapitoly o limitách víme, že informace tohoto typu nám poskytují znalosti
limit (i jednostranných) funkcí v uvedených bodech. Při vyšetřování některých
jednoduchých limit jsme vycházeli ze známých grafů elementárních funkcí. Víme
již, že například