M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0
nebo limx→x
0 |g(x)| = ∞
pak z existence limity limx→x
0
f 0(x)
g0(x) plyne existence limx→x0
f (x)
g(x) a platí
rovnost
lim
x→x0
f (x)
g(x)
LP
= lim
x→x0
f 0(x)
g0(x)
.
Pro x0 ∈ R platí tvrzení vety také pro jednostranné limity.
Cvičení 2.7.2: Řešené příklady:
1.
lim
x→ 3
2
cos πx
ln 2
3 x
=
·
0
0
¸
LP
= − lim
x→ 3
2
π · sin πx
1
x
= −π · lim
x→ 3
2
x sin πx =
3
2
π.
———————————————————————————————————
26
Derivace funkce
2.
lim
x→∞
2x
x3
=
h∞
∞
i
LP
= lim
x→∞
2x · ln 2
3x2
=
h∞
∞
i
LP
= lim
x→∞
2x · ln2 2
6x
=
=
h∞
∞
i
LP
= lim
x→∞
2x · ln3 2
6
= ∞
Všimněte si, že při použití l’Hospitalova pravidla zvlášť derivujeme čitatele
a zvlášť jmenovatele zlomku. Nederivujeme tedy f /g jako podíl.
Další časté případy limit typů 0 · ∞, ∞ − ∞ se většinou snažíme algebraic-
kými úpravami převést na typ 0/0 nebo ∞/∞.
3.
lim
x→0+
3
√
x2 ln x = [0 · (−∞)] = lim
x→0+
ln x
1
3
√
x2
=
·
−∞
∞
¸
LP
= lim
x→0+
1
x
−2
3 x
− 5
3
=
= −
3
2
lim
x→0+
3
√
x2 = 0.
4.
lim
x→2+
µ
1
ln (x − 1)
−
1
x − 2
¶
= [∞ − ∞] = lim
x→2+
x − 2 − ln (x − 1)
(x − 2) ln (x − 1)
=
·
0
0
¸
=
LP
= lim
x→2+
1 − 1
x−1
x−2
x−1 + ln (x − 1)
=
·
0
0
¸
LP
= lim
x→2+
1
(x−1)2
1
(x−1)2 +
1
x−1
= lim
x→2+
1
x
=
1
2
.
5.
lim
x→∞
³
(x − 4)e
1
2−x
− x
´
= [∞ − ∞] = lim
x→∞
³
−4e
1
2−x
+ x(−1 + e
1
2−x
)
´
=
= −4 + lim
x→∞
−1 + e
1
2−x
1
x
=
·
0
0
¸
LP
= −4 + lim
x→∞
1
(2−x)2 e
1
2−x
− 1
x2
=
= −4 − lim
x→∞
µ
x2
(2 − x)2
e
1
2−x
¶
= −4 − 1 = −5.
√√
Komentář 2.7.1:
• Je třeba vždy nejprve ověřit, zda jsou splněny předpoklady pro použití
l’Hospitalova pravidla. Stává se, že l’Hospitalovo pravidlo je nesprávně po-
užito k výpočtu limit typu k