M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

Příklad 2.6.1: Jaké koeficienty musí mít polynom Tn nejvýše n–tého stupně,
má-li platit Tn(x0) = f(x0), T 0n(x0) = f0(x0), . . . , T

(n)

n

(x0) = f(n)(x0)?

Řešení: Uvažujme polynom Tn ve tvaru

Tn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + a3(x − x0)3 + · · · + an(x − x0)n.

Pak

T 0

n(x) = a1 + 2a2(x − x0) + 3a3(x − x0)

2 + · · · + nan(x − x0)n−1,

T 00

n (x) = 2a2 + 6a3(x − x0) + · · · + n(n − 1)an(x − x0)

n−2,

T 000

n (x) = 6a3 + 24a4(x − x0) + · · · + n(n − 1)(n − 2)an(x − x0)

n−3.

Z požadovaných rovností pak dostáváme

Tn(x0) = f(x0) =⇒ a0 = f(x0),

T 0

n(x0) = f

0(x0) =⇒ a1 = f0(x0),

T 00

n (x0) = f

00(x0) =⇒ a2 =

f 00(x0)

2

=

f 00(x0)

2!

,

T 000

n (x0) = f

000(x0) =⇒ a3 =

f 000(x0)

6

=

f 000(x0)

3!

.

Pomocí dalších vyšších derivací bychom ukázali, že platí

ak =

f (k)(x0)

k!

, k = 0, 1, . . . , n.

Cvičení 2.6.1: Potvrďte správnost vztahu ak =

f (k)(x0)

k!

pro k = 4, 5.

Provedené úvahy nás opravňují k následující definici.

———————————————————————————————————

22

Derivace funkce

Definice 2.6.1: Má-li funkce f v bodě x0 derivace až do řádu n, pak polynom

Tn(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) +

f 00(x0)

2!

(x − x0)2 + · · · +

f (n)(x0)

n!

(x − x0)n =

= Tn(f, x0, x − x0),

kde x0, x ∈ R, se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě x0. Funkci
Rn, definovanou vztahem f(x) = Tn(x) + Rn(x) nazýváme zbytkem řádu n. Je-li
x0 = 0, pak polynom Tn se někdy nazývá Maclaurinův polynom.

4

Nyní si ještě uvedemeTaylorovu větu, která uvádí odhad pro zbytek.

Věta: Má-li funkce f v okolí U(x0) bodu x0 derivace až do řádu n + 1, pak
pro bod x ∈ U(x0) platí