M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

4

Poznámka: Lze ukázat, že pro diferenciál funkce platí následující vztahy

lim

h→0

f (x) − f (x0) − df(x0, h)

|h|

= 0,

lim

h→0

f (x) − f (x0)

df (x0, h)

= 1,

kde x = x0 + h.

Příklad 2.2.1: Užitím diferenciálu určete absolutní a relativní chybu, která
vznikne výpočtem objemu krychle z naměřené délky hrany krychle a0 = 2m,
jestliže měření je zatíženo chybou, nepřesahující 0.2 mm.

Řešení: Absolutní chybu odhadneme absolutní hodnotou diferenciálu, tj.

| 4 V |

.

= |dV (a0, h)|, kde a0 = 2 m, |h| = 2 · 10−4 m. Víme, že V = a3 a odtud

|dV (a0, h)| = |V 0(a0) · h| = |3a20 · h| = 0.0024 m3. Relativní chybu odhadneme

takto:

¯

¯

¯

¯

4V

V

¯

¯

¯

¯

.

=

|dV |

V

=

0.0024

8

.

= 0.0003,

tj. 0.3 ◦/◦◦.

———————————————————————————————————

16

Derivace funkce

Cvičení 2.2.1: Vypočítejte:

1)

df (1; 0, 2) pro funkci f (x) = arctg (2x − 1).

2)

df (x0; h) pro funkci f(x) = ln (x +

√

1 + x2).

3)

df (0; h) pro funkci f (x) = ex cos 3x.

2.3

Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu

Uvedeme si stručný přehled některých vlastností funkcí spojitých v intervalu,
které mají značnou využitelnost zejména při zdůvodňování a odvozování různých
vztahů v diferenciálním a integrálním počtu, v numerické matematice a podobně.
Tvrzení jsou geometricky velmi názorná.

V dalším budeme předpokládat, že a, b ∈ R, a < b.

1. Cauchyova věta o nulové hodnotě :

Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b > a platí-li f (a) · f (b) < 0,
pak existuje c ∈ (a, b) takové, že f (c) = 0.

-

x

6

y

a

b

c

2. Weierstrassova věta:

Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b >, pak je f na intervalu
< a, b > ohraničená a nabývá na něm své největší a nejmenší hodnoty.