M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

+(0) = limx→0+

|x|

x

= limx→0

+ 1 = 1,

f 0

−(0) =

limx→0

−

|x|

x = limx→0− (−1) = −1 6= f

0

+(0), takže f

0(0) neexistuje (viz

vlastnost 1.).

2.1.2

Pravidla pro derivování

A) Mají-li funkce f, g derivaci v bodě x0 ∈ R a jestliže c ∈ R, pak platí:

1. (cf )0(x0) = cf0(x0).

2. (f ± g)0(x0) = f0(x0) ± g0(x0).

3. (f · g)0(x0) = f0(x0) · g(x0) + f(x0) · g0(x0).

4. Je-li g(x0) 6= 0, pak

µ

f

g

¶0

(x0) =

f 0(x0) · g(x0) − f(x0) · g0(x0)

(g(x0))2

.

B) Má-li funkce g derivaci v bodě x0 a funkce f má derivaci v bodě y0 = g(x0),
pak platí

(f ◦ g)

0 (x

0) = (f (g))

0(x0) = f0(y0) · g0(x0) = f0(g(x0)) · g0(x0).

C) Je-li funkce f spojitá a ryze monotónní na otevřeném intervalu J a má-li v
bodě y0 ∈ J derivaci f0(y0) 6= 0, pak funkce f−1 má derivaci v bodě x0 = f(y0)
a platí

¡

f −1

¢0

(x0) =

1

f 0(y0)

.

Pravidla A1−A4, B (o derivaci složené funkce) se musíte dobře naučit,
protože je budete neustále používat při řešení příkladů. Pravidlo C
(o derivaci inverzní funkce) slouží především k odvození vzorců pro
derivaci inverzních funkcí, např. cyklometrických.

Ukážeme si, jak je možno odvodit platnost například pravidla A3.

(f g)0(x0) = lim

x→x0

(f g)(x) − (f g)(x0)

x − x0

=

= lim

x→x0

f (x)g(x) − f (x0)g(x) + f(x0)g(x) − f(x0)g(x0)

x − x0

=

———————————————————————————————————

2.1 Derivace funkce

11

= lim

x→x0

µ

f (x) − f (x0)

x − x0

g(x) + f (x0)

g(x) − g(x0)

x − x0

¶

= f 0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0).

Cvičení 2.1.2: Odvoďte si pravidla A1 a A2.

Využijeme ještě pravidla C k odvození derivace funkce arkussinus.

(arcsin x)0 =

1

(sin y)0

=

1

cos y

=

1

p

1 − sin2 y

=

=

1

p

1 − sin2 (arcsin x)